Question

已知函数f(x)=1/2x^2-(a+m)x+alnx,且f(1)=0,其中 a,m为实数。 求函数f(x)的单调增区间。

Answer 1

(1) f'(1)=1 - m =0 ;则 m=1
(2)将m=1代入 f'(x) 有 f'(x) = x + a/x - (a + 1),
求函数f(x)的单调增区间，即f'(x) = x + a/x - (a + 1) >=0
若 x>0;
(x-a)(x-1)>=0 ,当a>=1时,x>=a 或x<=1;即x>a 或0<=x<=1
当0<a<1时,x>=1 或x<=a;即x>=1 或0<=x<=a
当a<=0时,x>1
若x<0;
(x-a)(x-1)<=0 ,当a>=1时1<=x<=a （舍）
当a<1时 a<=x<=1 ；0<a<1时 无解
a<=0时 即 a<=x<=0
综上所述；当a<=0时 函数的单调递增区间为 x>1 或 a<=x<=0
当0<a<1时函数的单调递增区间为 x>=1 或0<=x<=a
当a>=1时 函数的单调递增区间为 x>a 或0<=x<=1

祝学习进步！

Answer 2

f(x)=1/2x^2-(a+m)x+alnx,
∴f(1)=1/2-（m+a)=0,m=1/2-a,
f(x)=(1/2)(x^2-x)+alnx,x>0,
f'(x)=(1/2)(2x-1)+a/x=(2x^2-x+2a)/(2x),
△=1-16a<=0,即a>=1/16时f'（x)>=0,f(x)↑，所求增区间是（0，+∞）；
a<1/16时，记x1=(1-√△）/4，x2=(1+√△）/4,
o<x<x2时f'(x)<0,f(x)↓；x>x2时f'(x)>0,f(x)↑，所求增区间是（x2,+∞）。