Question

证明：如果A∪B=A∪C，并且A∩B=A∩C那么B=C

Answer 1

∪用+表示，∩就是乘，略写，条件写作 (1) a+b=a+c (2)ab=ac
(1)式左右同乘b 得（a+b)b=(a+c)b 分配率得ab+b=ab+bc 整理得 b=ab+bc （3）
同乘c 得（a+b)c=(a+c)c ,分配率得ac+bc=ac+c 整理得 ac+bc=c （4）
又因为条件（2） ab=ac 带入(4)式 阿ab+bc=b=c 得b=c.

Answer 2

这些由定义就可以直接证明了。证明的方式很单一。这里只证明第一个，其它的自己证吧，不会证明的可以追问。
x∈(a∩b)∩c，则x∈a∩b并且x∈c，由交集的定义，x∈a，x∈b，x∈c故x∈b∩c，即x∈a∩(b∩c).同理，若x∈a∩(b∩c)，则x∈a，x∈b，x∈c，则x∈(a∩b)∩c。故两个集合相等。其它可以类似的证明。

Answer 3

若B不是A的子集，那么C也不是A的子集。
由A∪B=A∪C→B=C
若B是A的子集，那么C也是A的子集。
得出A包含B也包含C
因为A∩B=A∩C
所以B=C