Question

14. 在R上定义运算△:x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立,

求a的取值范围 （过程）

Answer 1

x△y=x(1 -y) = x - xy
(x-a)△(x+a) = x-a - (x-a)(x+a) = x-a-x^2 + a^2 = -x^2 + x +a^2-a
设有二次函数
y = -x^2 + x +a^2-a
要使得y<1
则有
y的图形开口向下,且,顶点的y坐标 < 1
二次项系数为-1，开口已经向下
所以考虑顶点坐标
y = -x^2 + x +a^2-a = -(x -1/2)^2 + 1/4 + a^2 -a
顶点坐标是(1/2， a^2-a+1/4)
所以不等式要成立,就要满足 a^2-a+1/4 < 1
也就是
a^2-a-3/4 <0
亦即
4a^2 -4a -3 <0
(2a+1)(2a-3) < 0
解得
a∈(-1/2， 3/2)

Answer 2

(x-a)△(x+a)<1,即(x-a)[1-(x+a)]<1,即(x-a)[1-x-a)]<1
移项后左边为一个二次函数，右边为0
则要想对任意实数x恒成立,则 判别式＜0