Question

设a不等于b不等于c，若交换a与b时，a+(bc-a^2)/(a^2+b^2+c^2)的值不变，若把a与c交换时，这个式子的值

设a不等于b不等于c，若交换a与b时，a+(bc-a^2)/(a^2+b^2+c^2)的值不变，若把a与c交换时，这个式子的值也不变，若a+b+c=1.求这个不变的值。

要有详细的过程。

Answer 1

（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2(ac+bc+ab)=1 (1)

由原题可得：a+(bc-a^2)/(a^2+b^2+c^2)=b+(ac-b^2)/(a^2+b^2+c^2)=

c+(ab-c^2)/(a^2+b^2+c^2)

因为三个式子值相等所以将三个等式相加再除以三即可得答案。
将三个等式相加得：

a+b+c+(ac+bc+ab-a^2-b^2-c^2)/(a^2+b^2+c^2) (2)

将任意两式相减可得0=>

a-b+(bc-ac-a^2+b^2)/(a^2+b^2+c^2)=0 =>

(a-b)+[-c(a-b)-(a^2-b^2)]/(a^2+b^2+c^2)=0

因为a不等于b削去a-b得：

1+(-c-a-b)/(a^2+b^2+c^2)=0 可得a+b+c=a^2+b^2+c^2=1 (3)

综合（1）（3）推（2）得：

1+(1-3(a^2+b^2+c^2))/2(a^2+b^2+c^2)=1-1=0

可得答案0