Question

在Rt三角形ABC中，角ACB=90度,AC=BC,D为BC边的中点,CE垂直于AD,垂足为E,BF平行于AC，交CE的延长线于点F。

若AC=12，求DF的长

Answer 1

证明：因为BF‖AC

所以∠ACD+∠CBF=180°

∠ACF=∠BFC

又因为∠ACB=90°，∠CEA=90°

所以∠CBF=90°

∠CAD+∠ACF=∠CAD+∠ADC=90°

即∠ACF=∠ADC

所以∠ADC=∠BFC

所以∠BFC=∠ADC

在△ADC和△CFB中

AC=CB

∠ACB=∠CBF=90°

∠ADC=∠BFC

所以，由角角边定理△ADC≌△CFB

所以CD=BF

因为CD=BD

所以BD=BF

所以AB垂直平分DF（到线段两端点距离相等的点必在线段垂直平分线上）

Answer 2

因为BF‖AC，AC垂直CB,
所以∠FBD=90°=∠ACD
∠CAD+∠ACF=∠CAD+∠ADC=90°
所以∠ACF=∠ADC，∠ADC=∠BFC
所以∠BFC=∠ADC
在△ADC和△CFB中
AC=CB
∠ACB=∠CBF=90°
∠ADC=∠BFC
则△ADC≌△CFB
所以BF=6=BD，DF=6*√2