Question

已知a,b,c为有理数,且满足a^2+b^2+c^2=1,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值

Answer 1

先通分得到
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=0
因式分解得到
(a+b+c)(ab+bc+ca)=0
另一个条件是
(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=1
解出三组解(a+b+c, ab+bc+ca)：(1,0), (-1,0), (0,-1/2)
前两组解符合条件，比如取(a,b,c)=(-1/3,2/3,2/3)或(1/3,-2/3,-2/3)；
但是最后一组不符合，因为a+b+c=0得到a^2+b^2+(a+b)^2=1，利用求根公式可以得到
b=[-a+sqrt(2-3a^2)]/2或b=[-a-sqrt(2-3a^2)]/2
利用关于模8同余容易说明方程2x^2-3y^2=z^2没有非零解，所以a,b,c不能同时是有理数。
最后得到a+b+c=1或a+b+c=-1。