Question

英文数学题 高分求强人!!!

Starting with any positive integer n, we produce another number m as follows.

If n is odd, then m = 3n -1
If n is even, then m = n/2

By repeating this process, n generates a sequence called a snowstorm, the numbers of which are called snowflakes of n.

For example the snowstorm of 4 is: 4, 2,1,2,1 ..... and so on. Sometimes we arrange the snowstorm in a diagram to indicated cycles.

4⇒ 2 ⇒ 1 (and then an arrow goes from the end (1) and back to the (2) to form a cycle.

Here we have a cycle of length 2.

Question: Explain why no cycle can contain a number that is a multiple of three.

Answer 1

解：我们可以分类讨论一下：
如果n是偶数，则m=n/2是偶数，一直循环下去得到的m都是更小的偶数，最后直到2，即得到了例子中的循环；
如果n是奇数，则m=3n-1又是偶数，偶数之后的下一个m还是更小的偶数，最后直到2又即得到了例子中的循环。（不理解，请追问）

if n is odd, then m=3n-1,so m0 is even. then the next m1=m0/2 ,m1 is even too and smaller then m0, so do this until we get the smallest even positive integer 2, then the next m equals 1, so we get the circle as showed above.
if n is even ,then m=n/2,so m1 is even ,then the next m2=m1/2, m1 is even too, then do the circle until we get the smallest even positive integer 2, then the next m equals 1, so we get the circle as showed above.
so no cycle can contain a number that is a multiple of three.

Answer 2

....题目很多。

第一个题：k是一个正整数，找到最小的正整数k使得方程x^2 kx=4y^2-4y 1有整数解。

这个题比较轻松：
两边因式分解：x(x k)=(2y-1)^2 注意到右边是奇数的完全平方数，所以左边的x和x k都是奇数，并且都是完全平方数，或者是完全平方*a，于是k=(x k)-x至少是3^2-1^2=8。

第二题：在一个有p个0和q个1的数列里，如果第t(i-1)和t(i)不相同，我们就说它是数列的一个转点。举例略去。在所有p个0和q个1的数列里，p=q,找到：
1）最少和最多的转点。
2）平均转点个数。

第一问：最少转点当然是1个，前面全0，后面全1，一共一个转点
最多转点当然是2p个，只要所有的0不相邻就行（当p=q是是2p-1个，去死按第一项只剩下2p-1项）
第二问：暂时没想到什么好办法。

后面题目好长啊.....

第三题考察的是面积法。就是两种方法计算三角形面积，然后得到个灯饰就OK了

第四题考察的是正余弦平方和为1. 要用到立方和公式：a^3 b^3=(a b)(a^2 b^2-ab)。 还有平方和公式：a^2 b^2=(a b)^2-2ab
第一问是要求出所有的使f(x)为常数的实数k，实际上就一个 k=-3/2
第二问解方程，第一问化简结果代入后，很简单。
第三问确定让方程有解的实数k，只要记住 (sinxcosx)^2属于0到1/4就很轻松

第五题第一问很简单。第二问用反证法：假如有6家离A店最近，那么着六家店中必然有两家到A点不是最近（因为夹角小于60度）。

第6题，三次方程的韦达定理：a b c=6,ab bc ac=5,abc=1
然后反复利用旧可以求出来（建议先求出2次和，3次和然后相乘，减去多余的项。）
第二问，你需要证明出来a和b都小于1，然后a,b,c的n次和都是整数，所以c越高次越接近整数,因为小于1的数高次幂趋近于0.

Answer 3

....题目很多。

第一个题：k是一个正整数，找到最小的正整数k使得方程x^2 kx=4y^2-4y 1有整数解。

这个题比较轻松：
两边因式分解：x(x k)=(2y-1)^2 注意到右边是奇数的完全平方数，所以左边的x和x k都是奇数，并且都是完全平方数，或者是完全平方*a，于是k=(x k)-x至少是3^2-1^2=8。

第二题：在一个有p个0和q个1的数列里，如果第t(i-1)和t(i)不相同，我们就说它是数列的一个转点。举例略去。在所有p个0和q个1的数列里，p=q,找到：
1）最少和最多的转点。
2）平均转点个数。

第一问：最少转点当然是1个，前面全0，后面全1，一共一个转点
最多转点当然是2p个，只要所有的0不相邻就行（当p=q是是2p-1个，去死按第一项只剩下2p-1项）
第二问：暂时没想到什么好办法。

后面题目好长啊.....

第三题考察的是面积法。就是两种方法计算三角形面积，然后得到个灯饰就OK了

第四题考察的是正余弦平方和为1. 要用到立方和公式：a^3 b^3=(a b)(a^2 b^2-ab)。 还有平方和公式：a^2 b^2=(a b)^2-2ab
第一问是要求出所有的使f(x)为常数的实数k，实际上就一个 k=-3/2
第二问解方程，第一问化简结果代入后，很简单。
第三问确定让方程有解的实数k，只要记住 (sinxcosx)^2属于0到1/4就很轻松

第五题第一问很简单。第二问用反证法：假如有6家离A店最近，那么着六家店中必然有两家到A点不是最近（因为夹角小于60度）。

第6题，三次方程的韦达定理：a b c=6,ab bc ac=5,abc=1
然后反复利用旧可以求出来（建议先求出2次和，3次和然后相乘，减去多余的项。）
第二问，你需要证明出来a和b都小于1，然后a,b,c的n次和都是整数，

Answer 4

这道题是让证明为什么在一个循环中不能存在3p(p为任意整数)。
用反证法，假设有这样一个含3p这个数的循环。我们考察3p之前的那个数，由于m= 3n -1不可能是3的倍数，所以这个数只能是6p。同样再看更前面的那个数，由于m= 3n -1不可能是6的倍数，所以这个更前面的数只可能是12p。依次下去，越往前考察数只会每次乘以2地增大，不可能形成循环，回到3p。故不存在这种循环。

Answer 5

我们可以假设：当某数A为奇数，则相应的B为3A-1，根据奇数的定义则不难得出3A-1是一个偶数，则对应的B'为（3A-1）/2也会是偶数，一直到第N个对应则是1，则得到对应的3*1-1=2，与上面第M个B的值相同，则得出长度为2的周期。
同样，我们设定A为偶数，则对应的B为A/2，也会是偶数........到了N个A/2时将得到1，1自然为奇数，则对应的2为偶数，则得出长度为2的周期。
注意：上面题提到是正整数，所以不包括0这个数字。
以上只是我个人观点。