Question

一道高中数学，不难，求高人相助！！！！！高分！！！本人在电脑前等！！！！

已知圆M：X^2+(y-2)^2=1,Q是X轴上的动点，QA与QB分别切圆于A,B两点
1，求证AB恒过一定点
2，求动弦AB的中点的轨迹方程？
急啊！！！！！以人格保证还有加分！！！！

Answer 1

解
1、设Q坐标为（a,0)，圆心M（0,2），QM与AB的交点为E则
Rt△QAM∽Rt△QEA
由射影定理得AM＾2＝ME*MQ
假设AB恒过一定点，则此点必在Y轴上，设其坐标为（0，y0）
QM与AB垂直，QM的斜率为-2/a，AB斜率为a/2，则AB方程为y-y0=a/2*x
由射影定理得
1＾2＝｜-2+y0|/√[(a/2)^2+1]*√（a^2+4）
化简得y0=3/2，另一解无意义舍去。故AB恒过定点（0，3/2）
且AB方程为y-3/2=a/2*x
2、设AB中点坐标为(x,y)，其既在AB上，又在QM上则：
由于QM与AB垂直，故斜率之积为-1，则
AB斜率为a/2=(y-3/2)/x
注意到QM过（0,2），则其斜率为-2/a＝(y-2)/x
两者相乘得
(y-3/2)/x*(y-2)/x＝－1
化简得
x^2+y^2-7/2x+3=0
这是一个圆的方程

Answer 2

令Q（x0,0）则AB：x0.x+(0-2)(y-2)=1,从而可知直线AB恒过(0，3/2)，