Question

在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA=1/2,sinB=√10/10

（1）求tanC的值
（2）若三角形ABC最长的边为1，求b

Answer 1

(1)因为sinB=√10/10且√10/10介于0与1之间故B为锐角，cosB=3√10/10,所以tanB=1/3
又因为C=A+B所以tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/1-tanA*tanB=-(1/2+1/3)/1-1/6=-1
(2)有(1)知C为钝角，且C=135度，所以sinC=√2/2,所以C角最大，c=1,
因为sinB/b=sinC/c,所以b=√5/5

Answer 2

1
由已知，(cosB)^2=√(1-(sinB)^2)=9/10，sinA=√5/5，cosA=2√5/5，
如果 cosB=-3√10/10，则 cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-√2/2<0，
这不可能（一个三角形中不能有两个钝角），
所以 cosB=3√10/10，则 tanB=1/3
所以 tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-(1/2+1/3)/(1-1/6)=-1。
2
由1知，c最长，即c=1，
由于 sinC=√2/2，
所以据正弦定理得 b=c*sinB/sinC=√5/5。