Question

在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以OB为直径画⊙M,过点D作⊙M的切线,切点为N,分

在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，以OB为直径画⊙M，过点D作⊙M的切线，切点为N，分别交于AC、BC于E，F已知AE=5，CE=3，则DF的长是——

Answer 1

4.8
点拨下思路，祝你成功。
延长EF，过B作直线平行AC和EF相较于P
AE=5,EC=3，所以OE=EN=1（两边都相切，自己想）
三角形DMN相似三角形DEO，而且短直角边是斜边的1/3（MN是半径，DM是3个半径）
所以DE=3OE=3
所以EP=3（OE∥BP,O是DB中点，所以E也是中点，中位线定理，自己想）
BP=2
三角形EFC和三角形PFB相似。
相似比是3：2。（EC=3,BP=2，能明白吗？）
所以EF=EP×3/5=1.8
所以DF=DE+EF=3+1.8=4.8

Answer 2

有公共角的直角⊿DOE和直角⊿DNM相似（假设半径MN=r）：
OE：DE=MN：DM，则OE/DE=r/（2r+r），即DE=3OE
同时OE=OC-EC=（5+3）/2-3=1，即DE=3
AD∥FC，则两对内错角相等，同时对顶角相等，即⊿AED∽⊿CEF
AE：EC=DE：EF=5/3
即DF=DE/（5/（5+3））=24/5=4.8
^_^