Question

数列an=(1/2)^n,数列{bn}满足 bn=3+log4an ,设Tn=|b1|+|b2|+...+|bn|,求Tn ．

Answer 1

由题知，bn=3+log4an=3+log4[(1/2)^n]=3-(n/2)log2(2)=3-n/2
既然Tn是bn的绝对值求和，显然这些项是有正有负的。而bn显然是一个单调减函数。先求出bn=0时,n的值为6。
当n<=6时，bn全为正值；当m>6时，bn全为负值。
Tn的值分两个部分来讨论。
当n<=6时，
Tn=b1+b2+...+bn=3n-(1/2)[(1+n)n/2]=11n/4-(n^2)/4
当n>6时，
Tn=T6-a7-a8-...-an=15/2-3*(n-6)+(1/2)[(7+n)(n-6)/2]=(n^2-11n+60)/4

Answer 2

bn=3+log4(1/2)^n=3+log4 2^(-n)=3+log4 4^(-n/2)=3-n/2
令bn=0,则n=6
当n<=6时,bn>=0,|bn|=bn
当n>6时,bn<0,|bn|=-bn
故,当n<=6时,Tn=b1+b2+……+bn=3-1/2+3-2/2+……+3-n/2=3n-(1+2+……+n)/2=11n/4-(n^2)/4
当n>6时,Tn=b1+b2+……+b6-b7-b8-……-bn=-(b1+b2+……+bn)+2(b1+b2+……+b6)=-[11n/4-(n^2)/4]+2*(5/2+2+3/2+1+1/2+0)=15-[11n/4-(n^2)/4]=(n^2)/4-11n/4+15
当n<=6时，在两个等式中取值，两值不等，则Tn写成分段函数形式

Answer 3

bn=3+log4(1/2)^n=3+log42^(-n)=3-n/2
bn=3-n/2<=0，得n>=6
S1=b6+b7+b8+.......+bn=(b6+bn)*(n-5)/2= -n^2/2+11n/2-15
S2=(b1+b5)*5/2=15/2
Tn=S2-S1=n^2/2-11n/2+45/2

Answer 4

log4(4)^(-n/2)=-n/2
当n<=6时,Tn=3n-n(n+1)/4
当n>6时，Tn=-Sn+2xT6=n(n+1)/4-3n-15

很清晰对不对（哈哈，我老师口头禅）

Answer 5

Sn=a(n+1)-1
S(n-1)=an-1
an=Sn-S(n-1)=a(n+1)-an
a(n+1)=2an
故是公比为2的等比数列
an=a1*2^(n-1)=2^(n-1)
a(n+1)=2^n
bn=2^n/[a(n+1)][a(n+1)+1]=1/(2^n+1)
因bn<1/2^n
则Tn<1/2+1/2^2+..+1/2^n=(1/2)(1-1/2^n)/(1-1/2)=1-1/2^n<1
因Tn=1/(2+1)+1/(2^2+1)+...+1/(2^n+1) n=1,2,....
则Tn≥T1=1/3
得证