Question

已知函数f(x)=kx,g(x)=lnx/x

(1)若f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)恒成立,求k的取值范围。
(2)设a<-1,如果对任意的x1 ，x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围

Answer 1

(1) 令h（x）=f（x）-g（x），满足h（x）≥0 ，∵x∈(0,+∞)，∴h（x）*x≥0
令φ（x）=h（x）*x，则φ‘（x）=2kx-1/x，x0=√（1/2k）处为极值，代入φ（x）得
k∈(1/（2k）,+∞）

(2) 这道题的原题好像f(x)=(a+1)lnx+ax2+1
不妨假设x1≥x2，∵a≤-1，f'(x)=(2ax^2+ax+1)/x<0
∴f(x)在(0,+∞)单调递减，∀x1 ，x2∈(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|<==>
f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1,g(x)=f(x)+4x，g'(x)=(a+1)/x+2ax+4,<==>g(x)在(0,+∞)单调
递减,即(a+1)/x+2ax+4≤0.
　　解得a∈(-∞,-2].

追问

那个第二个问还有一个问号 是讨论单调性 帮解决下 原题就是你说那个 打错 不好意思 这是两道题

追答

f'(x)=(2ax^2+a+1)/x
当a≥0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0,+∞)单调递增；
当a≤-1时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0,+∞)单调递减；
当-1＜a＜0时，令f′(x)=0，解得x=√（（-a-1）2a）
　　时，f′(x)＜0.故f(x)在（0,，√（（-a-1）2a））单调递增，
在（√（（-a-1）2a），+∞）单调递减.

不好意思，刚才（2）f（x）求导打错了f'(x)=(2ax^2+a+1)/x

Answer 2

(1)利用数形结合思想:在坐标系中画y=kx2与y=lnx的图象,当二次函数与对数函数仅有一个交点时是临界点.在这个交点处的两切线是重合的,因此有:1.设切点横标为x0,2kx0=1/x0,x0的平方=1/2k, k=1/2(x0的平方);2.由切点重合得到:k(x0的平方)=lnx0=1/2( 由1推出),x0=根号e,k=1/2e,因此k>=1/2e
第2问应该是把a换成k吧?那样的话很简单,k<=-4