Question

高中数列题

已知等差数列{an}的首项a1=1，且公差d＞0，其第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项。
（1）求数列{an}和{bn}的通项
（2）设数列{an}对任意自然数n均有c1/b1+c2/b2+c3/b3+...+cn/bn=a(n+1)成立，求a1c1+a2c2+...+ancn的值
（注：an，bn，cn中的n为右下标，a（n+1)中的n+1为右下标）只要做第二问就行了

Answer 1

（1）由已知a2=b2，a5=b3，a14=b4
所以a2×a14=a5^2
即(1+d)(1+13d)=(1+4d)^2
解得d=2(d=0舍去)
所以an=1+2(n-1)=2n-1
{bn}的公比q=b3/b2==a5/a2=3,
所以bn=b2×q^(n-2)=3^(n-1)
（2）由题设c1/b1+c2/b2+c3/b3+...+cn/bn=a(n+1)=2n+1……（1）
c1/b1+c2/b2+c3/b3+...+cn/bn+c(n+1)/b(n+1)=a(n+2)=2n+3……（2）
（2）减（1）得c(n+1)/b(n+1)=2，所以c(n+1)=2b(n+1),即cn=2bn=2×3^(n-1)
a1c1+a2c2+...+ancn这个用错位相减求因为cn是公比为3的等比数列，即c(n+1)=3cn
即Sn=a1c1+a2c2+...+ancn=c1+3×c2+5×c3+…+(2n-1)cn
3Sn= c2+3×c3+…+(2n-3)cn+(2n-1)c(n+1)
3Sn-Sn=c1-2(c2+c3+…+cn)+(2n-1)c(n+1)
就写到这吧，后面的化简过过程自己来吧