Question

全等三角形问题~

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于D.

（1）求证AE=CD

（2）若AC=12cm，求BD之长

求详细过程 谢~

Answer 1

这道题目有两种情况：分锐角三角形和钝角三角形.

当△ABC是锐角三角形时，求解如下：
∵AD⊥BC BE⊥AC
∴∠BEC=∠ADC=∠BDH=90°
又∵∠ACD=∠BCE
∴∠CAD=∠CBE（等角的余角相等）
∵∠BDA=90° BH=AC
∴△ADC≌△BDH（AAS）
∴BD=AD（全等三角形的对应边相等）
∴∠ABC=∠BAD（等边对等角）
又∵∠BDA=90°
∴∠ABC=45°

当△ABC是钝角三角形时，求解如下：
∵AD⊥BC BE⊥AC
又∵∠DBH=∠CBE
∴∠C=∠H（等角的余角相等）
又∵ BH=AC
∴△BDH≌△ADC（AAS）
∴BD=AD（全等三角形的对应边相等）
∴∠ABD=∠BAD（等边对等角）
又∵∠BDA=90°
∴∠ABD=45°
∴∠CBA=135°
综上所述，∠ABC=45° 或∠ABC=135° .

Answer 2

一看题目肯定就是证△DBC 全等 △ECA
∠ACE=∠DBC=90°
AC=BC
所以现在只需找一边或者一角就行了。
又因为CF⊥AE，∠CFE=∠ACE=90°
∠EFC=∠AEC，
所以△EFC相似于△CEA，
所以有∠ECF=∠EAC=∠DCB
所以△DBC 全等 △ECA
下面的不难证了吧

Answer 3

(1)∵AC=BC ∠ACF+∠FCA=90° ∠FCE+∠CEF=90° ∴∠ACF=∠CEF ∴∠CAE=FCE=∠DCB 在ΔACE 与 ΔCBD中∠CAD=∠DCB ∠DBC=∠ECA AC=BC 所以ΔACE≡ΔDCB ∴AE=CD
(2)∵AC=12 ∴BC=12=2BE=2EC ∴BD=6(这是源于问题一的结论)

Answer 4

在△ACE和△DBC中
∠DBC=∠ACE=90
∠DBC=∠EAC(这两个角加上角DCA都等于90度)
AC=BC
所以△ACE和△DBC全等
DB=CE
因为AC=BC,E是BC中点，所以DB=6

Answer 5

⑴∵DB⊥BC,CF⊥EF, ∠FCE=∠DCB∴∠D=∠FEC
又AC⊥BC,AC=BC,∴⊿BDC≌⊿CEA,∴AE=CD
⑵AC=BC=12cm，由全等得BD=CE=½BC=6cm