Question

在梯形ABCD中，AD平行BC，AB=CD，BC=8 ∠B=60°点M是BC的中点，点E,F是AB,CD上的两个动点

点E与点A,B不重合，点F与点C，D不重合
且∠EMF=120°
求证（1）ME=MF
（2）试判断当点E,F分别在AB,CD上移动时，五边形AEMFD的面积的大小是否会改变，请证明你的结论。
（3）如果点E,F恰好是边AB,CD的中点，求边AD的长

Answer 1

在BA上截取BG=BM，则ΔBMG是等边三角形=>∠MGE=∠C=60°，MG=MC；
又∵∠BME+∠CMF=60°，∠BME+∠EMG=60°=>∠EMG=∠CMF , ∴ △GME≌△CMF=>ME=MF
当点E、F分别在边AB、CD上移动时，
五边形AEMFD的面积=五边形AGMCD的面积=梯形ABCD的面积-△BMG的面积,∴大小不会改变。
当点E、F恰好是边AB、CD的中点时， △BME≌△CMF=>∠BME=∠CMF=30°
∴ △BME为30°Rt△=>BE=1/2BM=1/2X4=2 =>AB=CD=4=>等边△ABM、等边△DCM、等边△AMD
∴AD=4

Answer 2

连接AM,DM，
∵AD//BC AB=CD,∠ABC=60°,M是BC的中点
∴ ∠BAD=120°
⊿ABM，⊿CDM为正三角形
∴AM=CM
∠BAM=∠CDM=∠AMB=∠C=60°
∴∠BME+∠AME=60°
∠CMF+∠DMF=60°
∵∠EMF=120°
∴∠BME+CMF=60°
∴∠AME=∠CMF
根据（ASA）
⊿AME≌⊿CMF
∴ME=MF