求解一道函数题
（1）若d=0，且f(x)最多有k条切线过x轴上同一点P(m,0)，求k与m的关系
（2）若f(x)有3个零点x1,x2,x3，求：
①d的取值范围；②x1x2+x2x3+x3x1的最大值. 展开
(1)为方便考虑问题，可以作出函数图像，
当x<0时，f(x)＝-x^2，为抛物线
此时f'(x)=-2x
当x>=0时，f(x)=x^4/4-x^2/2＝1/4*x^2(x^2-2)
有0和√2两个根
f'(x)=x^3-x=x(x+1)(x-1)说明0是f的极大值点，1是极小值点
f在（0，1）上是减的，在（1，+∞）上是增的
f''(x)=3x^2-1它的根为1/√3,说明f'在(0,1/√3)上减的，在(1/√
3,+∞)上是增的
据此画出图像
当m<0时，k=3,一个位于x<0时，一个是y=0，另一个位于（1/√3,1)
内
当m=0时，k=2
下面要求出过点x=1/√3的切线与x轴的交点(这个是可以求出的，你
自己做吧，这里设为a)
当0<m<=a时，k=3
当a<m<√2时，k=1
当m=√2时，k=2
当m>√2时，k=3
(2)
①当d<0时，在x负半轴上无零点，原点不是零点，如果这3个零点都
位于x的正半轴上，这会使函数g(x)＝x^4/4—x²/2+d在R上有6个零
点(因为g(x)是偶函数)，这是不可能的。所以d>=0
当d=0时，在x负半轴上无零点，当x>=0时，f(x)=x^4/4-x^2/2＝
1/4*x^2(x^2-2)有0和√2两个根，不合要求，所以d>0
当d>0时，在x负半轴上有一个零点x1=-√d,f(0)=d>0,因为g(x)＝
x^4/4—x²/2+d身为偶函数的对称性，它在正半轴上最多有两个零点
，所以只要保证它的最小值f(1)<0即可，所以f(1)=1/4-1/2+d<0,所
以d<1/4
总之，0<d<1/4
②已知x1=-√d，x2,x3是g(x)＝x^4/4—x²/2+d的两个根，所以g(x)
的另外两个根为-x2,-x3,所以g(x)=(x-x2)(x-x3)(x+x2)(x+x3)
=x^4-(x2^2+x3^2)x^2+x^2x^3=x^4/4—x²/2+d
x2^2+x3^2=1/2,x2x3=√d
x1x2+x2x3+x3x1=x1(x2+x3)+x2x3=-√d(x2+x3)+√d=√d[1-
(x2+x3)]
(x2+x3)^2=1/2+2√d,故x2+x3=根号（1/2+2√d)
设M＝x1x2+x2x3+x3x1=√d[1-根号（1/2+2√d)]
令√d=t,0<t<1/2,M=t[1-根号(1/2+2t)]
令b=根号(1/2+2t),根号（1/2)<b<根号(3/2)
t=(b²-1/2)/2,M=[(b²-1/2)/2](1-b)
利用求导的方法可以求出当b=(2+√10)/6时，可使M取最大值（自己代入计算）
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2024-10-28 广告
(1)≥0时，f(x)=x^4/4—x²/2; x＜0时，f(x)=-x²
x<0不看
x≥0时
f'(x)=x^3-x 在[0,1]递减
f''(x)=3x^2 恒大于0
函数图象大概如图所示
m<0 k=2
m=0 k=1
0<m<√2 k=1
m=√2 k=1
m>√2 k=2
(2)
①f(x)=x^4/4—x²/2在正区间的最小值为图示-1/4,那么如果方程有三解,d的取值范围为(0,1/4)
②不知
