Question

一条高中数学二项式定理

已知（1+1/2x）^n展开式的各项依次记为a1(x),a2(x),a3(x).....an(x),a(n+1)(x)设F(X)=a1(x)+2a2(x)+3a3(x).....+nan(x)+(n+1)a(n+1)(x)
1，若a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列，求n的值?
2,求证：对任意x1,x2∈［0,2］，恒有│F(X1)-F(X2)│≤(n+2)×2^(n-1)
Abraham 回答:0 人气:7 提问时间:2011-06-09 07:39
求第二问

Answer 1

解：（1）n=1或n=8；
（2）【声明：我认为题目应为（1+（1/2)x)^n，而不是（1+1/（2x））^n否则X1与X2的定义域不可能包括0。解题如下：】
令f(x)=（1+1/2x）^n
要证明│F(X1)-F(X2)│≤(n+2)×2^(n-1)，只需要证明│F(X1)-F(X2)│的最大值小于或者等于(n+2)×2^(n-1)即可，而显然，当X1=2，X2=0时│F(X1)-F(X2)│取最大值，且F(X1)-F(X2)为正数，即只需证明F(2)-F(0)≤(n+2)×2^(n-1)即可。此时F(X1)-F(X2)=F(2)-F(0)。而F(0)=a1(x)=1。
当n=1时，F(2)-F(0)=1+2-1=2<(1+2)*2^(1-1)，即不等式成立。
假设当n=k-1的时候，不等式成立，即：F(k-1)(2)-F(0)≤)(k+1)×2^(k-2)
即：F(k-1)(2)=a(1)+2a(2)+3a(3)+……+(k-1)a(k-1)+ka(k)≤(k+1)×2^(k-2)+1，由杨辉三角的知识，不难得知：a(1)=a(k)=1(注：此处a(k)即ak(2)，即k为序号，x=2的项，上面已经说明x为什么为2）
则，当n=k时，
F(K)(2)=1+2(a(1)+a(2))+3(a(2)+a(3))+4(a(3)+a(4))+……+k(a(k-1)+a(k))+(k+1)*1
(注：最两边的1即为杨辉三角中最两边的1)
=1+2a(1)+2a(2)+3a(2)+3a(3)+4a(3)+4a(4)+……+ka(k-1)+ka(k)+ka(k)+1
(注：即把上式展开，最后的ka(k)+1实质即k+1，上面已经说了a(1)=a(k)=1)
=1+2(a(1)+2a(2)+3a(3)+4a(4)+……+ka(k))+a(2)+a(3)+a(4)+……+a(k-1)+a
=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+……+a(k)+2F(k-1)(2)
=f(2)+2F(k-1)(2)
=2^n+2F(k-1)(2)
<=2^n+2(n+1)*2^(n-2)+2
=2^(n-1)*(2+n+1)+2
<=(n+2)*2^(n-1)+1
即F(K)(2)-F(0)<=(n+2)*2^(n-1)
即，当n>=2时，F(2)-F(0)≤(n+2)×2^(n-1)。
证毕。

Answer 2

1 ，n=8
2，写的太麻烦

追问

麻烦你写出详细过程，我再加分

追答

在这上面不太好写，不好意思，你找一下你附近的高考生算算，应该不是太难

Answer 3

令f(x)=（1+1/2x）^n
要证明│F(X1)-F(X2)│≤(n+2)×2^(n-1)，只需要证明│F(X1)-F(X2)│的最大值小于或者等于(n+2)×2^(n-1)即可，而显然，当X1=2，X2=0时│F(X1)-F(X2)│取最大值，且F(X1)-F(X2)为正数，即只需证明F(2)-F(0)≤(n+2)×2^(n-1)即可。此时F(X1)-F(X2)=F(2)-F(0)。而F(0)=a1(x)=1。
当n=1时，F(2)-F(0)=1+2-1=2<(1+2)*2^(1-1)，即不等式成立。
假设当n=k-1的时候，不等式成立，即：F(k-1)(2)-F(0)≤)(k+1)×2^(k-2)
即：F(k-1)(2)=a(1)+2a(2)+3a(3)+……+(k-1)a(k-1)+ka(k)≤(k+1)×2^(k-2)+1，由杨辉三角的知识，不难得知：a(1)=a(k)=1(注：此处a(k)即ak(2)，即k为序号，x=2的项，上面已经说明x为什么为2）
则，当n=k时，
F(K)(2)=1+2(a(1)+a(2))+3(a(2)+a(3))+4(a(3)+a(4))+……+k(a(k-1)+a(k))+(k+1)*1
(注：最两边的1即为杨辉三角中最两边的1)
=1+2a(1)+2a(2)+3a(2)+3a(3)+4a(3)+4a(4)+……+ka(k-1)+ka(k)+ka(k)+1
(注：即把上式展开，最后的ka(k)+1实质即k+1，上面已经说了a(1)=a(k)=1)
=1+2(a(1)+2a(2)+3a(3)+4a(4)+……+ka(k))+a(2)+a(3)+a(4)+……+a(k-1)+a
=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+……+a(k)+2F(k-1)(2)
=f(2)+2F(k-1)(2)
=2^n+2F(k-1)(2)
<=2^n+2(n+1)*2^(n-2)+2
=2^(n-1)*(2+n+1)+2
<=(n+2)*2^(n-1)+1
即F(K)(2)-F(0)<=(n+2)*2^(n-1)
即，当n>=2时，F(2)-F(0)≤(n+2)×2^(n-1)。