Question

设a,b,c,d都是正数,且x=√(a^2+b^2) , y=√(c^2+d^2). 求证：xy≥√（ac+bd）(ad+bc)

Answer 1

(a²+b²)(c²+d²)
=a²·c² +b²·d²+a²·d²+b²·c² 　　
=a²·c² +2abcd+b²·d²+a²·d²－2abcd+b²·c² 　　
=(ac+bd)²+(ad－bc)² 　　
≥(ac+bd)²，当且仅当ad=bc时取等号。
同理：
(a²+b²)(c²+d²)
=a²·c² +b²·d²+a²·d²+b²·c² 　　
=a²·d² +2abcd+b²·c²+a²·c²－2abcd+b²·d² 　　
=(ad+bc)²+(ac－bd)²
≥(ad+bc)²，当且仅当ac=bd时取等号。

∴两式相乘，得：
(a²+b²)²(c²+d²)²≥(ac+bd)²(ad+bc)²
即：(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)(ad+bc)
∴√[(a²+b²)(c²+d²)]≥√[(ac+bd)(ad+bc)]
即：xy≥√[(ac+bd)(ad+bc)]，当且仅当a=b，c=d时等号成立。

Answer 2

x^2y^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)……1式

(ac+bd)(ad+bc)=a^2cd+abc^2+abd^2+b^2cd=(a^2+b^2)cd+ab(c^2+d^2)……2式

因为 c^2-2cd+d^2大于等于0 所以 c^2+d^2大于等于2cd,同理a^2+b^2大于等于2ab
2式小于等于 1/2(a^2+b^2)(c^2+d^2)+1/2(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2) 即1式
两边同时开根号即结论