Question

已知x、y均为正数,若x+y+z≥xyz,则u=x/yz+y/xz+z/xy的最小值

z也是正数

Answer 1

将原式变形 除过来（x+y+z）/(xyz)≥1

不妨设x≥y≥z, 1/yz≥1/xz≥1/xy
利用排序不等式 ：顺序和不小于乱序和
u≥z(1/yz)+x(1/xz)+y(1/xy)

追问

我要求最小值

追答

1

追问

确定？我看到有一种答案是根号3

追答

你再请教高手吧
z是正数吗？

追问

是的

追答

不妨设x≥y≥z, 1/yz≥1/xz≥1/xy
利用排序不等式 ：顺序和不小于乱序和
u≥z(1/yz)+x(1/xz)+y(1/xy) =1/x+1/y+1/z=p
由已知1/(yz)+1/(xz)+1/(xy)≥1
而1/x2+1/y2+1/z2=1/2·[(1/x2+1/y2)+(1/x2+1/z2)+（1/y2+1/z2）]
≥1/2·[2/(yz)+2/(xz)+2/(xy)]= 1/(yz)+1/(xz)+1/(xy)≥1
p的平方=(1/x+1/y+1/z)2= 1/x2+1/y2+1/z2+2/(yz)+2/(xz)+2/(xy)≥1+2=3
u≥√3