Question

在平面直角坐标系X0Y中，直线L与抛物线Y^2=4X相交于不同的A,B两点 1)若直线L过抛物线的焦点

求向量OAX向量OB的值
2）若向量OBX向量OA=-4，证明直线L必过定点，求该点

Answer 1

（1）设A(x1, y1) B(x2, y2)，因A、B在抛物线上，故A(y1^2/4, y1) B(y2^2/4, y2)
抛物线焦点为(1, 0) ，当直线L存在斜率时，设直线L方程为y=k(x-1)，将其与抛物线方程联立，消去y，整理得：ky^2-4y-4k=0，根据韦达定理有：y1y2=-4
向量OA•向量OB=x1x2+y1y2=(y1y2)^2/16+y1y2=(-4)^2/16-4=-3
当直线L斜率不存在时，L方程为x=1，则A、B坐标分别为(1, 2)、(1, -2)
此时向量OA•向量OB=1×1+2×(-2)=-3
综上所述，向量OA•向量OB=-3
（2）设直线L方程为Ax+By+C=0，将其与将其与抛物线方程联立，消去y，整理得：A/4y^2+By+C=0，根据韦达定理有：y1y2=4C/A
向量OA•向量OB=x1x2+y1y2=(y1y2)^2/16+y1y2=-4，解出y1y2=-8
则4C/A=-8，C=-2A，直线L方程化为Ax+By-2A=0，变形为 (x-2)A+yB=0 ①
当x-2=0且y=0时，①式恒成立，因此直线L过定点（2,0）