Question

已知f（x）=x^3+bx^2+cx的导函数的图像关于直线x=2对称

2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g(t),求g(t)的定义域

Answer 1

导函数f′（x）=3x^2+2bx+c
因为导函数的图象关于直线x=2对称.根据二次函数对称轴公式有x=-（2b/6）=2
所以b=-6 ，f’（x）=3x²-12x+c
若f（x）在x=t处取得极小值
f’（t）=3t²-12t+c=0,可得c=12t-3t^2
且f’（x）=3x²-12x+c=0得有两根x1<x2=t
Δ=144-12c＞0
c=12t-3t^2＜12,﹙t-2﹚^2＞0
∴t≠2
因此g(t)=f（t）=t^3-6t^2+﹙12t-3t^2﹚t+12t-3t^2 =-2t^3+3t^2+12t,t≠2

Answer 2

对f（x）=x^3+bx^2+cx求导，导函数的图像关于直线x=2对称可以得到b=-6，
令f（x）导数为0，算出x1=2+√(4-c/3),x2=2-√(4-c/3),f（x）要有极小值，x1，x2必须为不同实根（若为相同实根，就相当于y=x3，是没有极值的，原因你懂得），取得实根的x值为2+√(4-c/3)（f（x）=x^3+bx^2+cx为“N”型，极小值明显是右边的值，左边的是极大值），则x=2+√(4-c/3)=t。求g(t)的定义域，就是求t的取值范围，即是2+√(4-c/3)的取值范围，首先√(4-c/3)！=0，t就应该大于2吧！不知道作对没，还有那儿没考虑到。。。