Question

设x1,x2,...,xn为任意实数，求证：x1/(1+x1^2)+x2/(1+x1^2+x2^2)+...+xn/(1+x1^2+x2^2+...+xn^2) ＜ 根号n

Answer 1

和高手讨论了一下，这办法不是我想的。
(x1/(1+x1^2)+x2/(1+x1^2+x2^2)+...+xn/(1+x1^2+x2^2+...+xn^2) )^2
<=((x1/(1+x1^2))^2+(x2/(1+x1^2+x2^2))^2+...+(xn/(1+x1^2+x2^2+...+xn^2)^2) *n
下证：(x1/(1+x1^2))^2+(x2/(1+x1^2+x2^2))^2+...+(xn/(1+x1^2+x2^2+...+xn^2)^2<1

这个利用(xi)^2/((1+x1^2+x2^2+...+x(i-1)^2)(1+x1^2+x2^2+...+xi^2))=1/(1+x1^2+x2^2+...+x(i-1)^2)-1/(1+x1^2+x2^2+...+xi^2)这样列项，就可以得到，综上：x1/(1+x1^2)+x2/(1+x1^2+x2^2)+...+xn/(1+x1^2+x2^2+...+xn^2) ＜ sqrt(n)

Answer 2

这个题有点难度啊..我不太会