Question

【悬赏20分在线等】已知向量a＝（cos3／2x,sin3／2x）,b＝（cosx／2,－sinx／2）,且x∈[π／2,π]

已知向量a＝（cos3／2x,sin3／2x）,b＝（cosx／2,－sinx／2）,且x∈[π／2,π]
(1)求向量a乘向量b 及 向量a+向量b的和的绝对值
(2)求函数f(x)=向量a乘向量b+(向量a+向量b的和的绝对值) 的最大值，并求使函数取得最大值时x的值
不是的，我这题x的范围跟那题的范围不同呢。

Answer 1

(1) a*b=cos(3x/2)cos(x/2)-sin(3x/2)sin(x/2)=cos(3x/2+x/2)=cos2x
a+b=(cos3x/2+cosx/2, sin3x/2-sinx/2)
Ia+bI=√[(cos3x/2+cosx/2)^2+(sin3x/2-sinx/2)^2]
=√[2+2cos2x]=√2*√(2cos^2x)
∵x∈[π／2,π]
∴Ia+bI=-2cosx
(2) f(x)=cos2x-2cosx=2(cosx)^2-2cosx-1
=2(cosx-1/2)^2-3/2
∵x∈[π／2,π]
∴当x=π时，f(x)取得最大值=2*(-3/2)^2-3/2=9/2-3/2=3

Answer 2

解：（1）由题意可得：
a*b=cos3x/2*cos2/2+sin3x/2*(-sinx/2)=cos(3x/2+x/2)=cos2x
且|a|=|b|=1
因为：|a+b|²=|a|²+2a*b+|b|²
=2+2cos2x
=4cos²x
又x∈[π／2,π]，则：-1≤cosx≤0
所以：|a+b|=-2cosx

(2)由（1）可知：
f(x)=a*b+|a+b|=cos2x-2cosx=2cos²x-2cosx-1
则：f(x)=2(cosx-1/2)²-5/4
因为-1≤cosx≤0
所以：当cosx=-1时，函数取得最大值为3，此时x=π+2kπ,k∈Z

Answer 3

解：(1) 向量a=（cos3/2x,sin3/2x),向量b=(cosx/2,-sinx/2),
向量a+向量b=(cos3/2x+cosx/2,sin3/2x-sinx/2)
| 向量a+向量b|=[(cos3/2x+cosx/2)²+(sin3/2x-sinx/2)²]½
=(cos²3/2x+2cos3/2x·cosx/2+cos²x/2+sin²3/2x-2sin3/2x·sinx/2+sin²x/2)½
=(2cos3/2x·cosx/2-2sin3/2x·sinx/2+2)½
=(2cos2x+2)½=[2(2cos²x-1)+2]½=[4cos²x]½
∵x属于[0，π\2], ∴cosx>0 ∴ |向量a+向量b|=2cosx
(2) 向量a.向量b=(cos3/2x,sin3/2x)·(cosx/2,-sinx/2)
=cos3/2x·cosx/2－sin3/2x·sinx/2
=cos2x
∴f(x)=向量a.向量b-4|向量a+向量b|
=cos2x-8cosx
=2cos²x-1-8cosx
令cosx=t, t属于[0,1]
y=2t²-8t-1, t属于[0,1]
对称轴为t=2
当t=1时，y有最小值-7
∴[f(x)]min=-7