Question

已知圆M:x2+（y-2)2=1,设B,C是直线l：x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别为t,t+4(t∈R),过p在作圆M的切线PA

已知圆M:x2+（y-2)2=1,设B,C是直线l：x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别为t,t+4(t∈R),过p在作圆M的切线PA，切点为A。
⑴若t=0,MP=根号5，求直线PA方程
⑵经过A,P,M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值。（关于t）

第一问已有，我需要第二问的，谢了。

Answer 1

（2）经过A,P,M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L(t).
过点A、P、M三点的圆即为△AMP的外接圆，已知PA为圆M的切线，则：PA⊥MA
即，∠MAP=90°，△AMP为直角三角形
那么，Rt△AMP的外接圆D是以Rt△AMP的斜边PM为直径的圆
即，点D为PM的中点
点P在直线x-2y=0上，设点P(t,t/2)
已知点M(0,2)
则，PM中点，即圆心D(t/2,(t+4)/4)
所以，OD=√{(t/2)^2+[(t+4)/4]^2}=√{(t^2/4)+[(t+4)^2/16]}
=√{(t^2/4)+[(t^2+8t+16)/16]}
=√[(4t^2+t^2+8t+16)/16]
=√[(5t^2+8t+16)/16]
对于二次函数f(t)=5t^2+8t+16，开口向上，当t=-b/(2a)=-8/10=-4/5时，函数f(t)有最小值f(t)|min=c-(b^2/4a)=16-(64/20)=16-(16/5)=64/5
所以，OD有最小值=√[(64/5)/16]=√(4/5)=(√20)/5