Question

高中数学不等式问题

x，y为实数，4x^2+y^2+xy=1,求2x+y最大值。请详解，多种解答方法最好，一种方法20分。

Answer 1

良驹绝影的回答方法正确，也是本题最好的解法，基本上没有其他方法了，但是他的解答错了，可能是他看错题目了吧。
改正后为：
设2x+y=t，则y=t-2x
代入已经等式并整理得6x²-3tx+t²-1=0
注意到x，y为实数，也就是说上述方程看成x的一元二次方程后必须有实数解，所以
判别式=24-15t²≥0,t最大值为2√10/5

Answer 2

4X^2+Y^2=1-XY>=2*2X*Y
所以XY<=1/5
(2X+Y)^2=4X^2+Y^2+4XY=1-XY+4XY=1+3XY<=8/5
所以2X+Y的最大值是(2倍根10)/5

Answer 3

1楼判别式法可以，我再解一种
(2x+y)²=4x^2+y^2+4xy=1+3xy
对条件用基本不等式1=4x^2+y^2+xy≥5xy 故有xy≤1/5
(2x+y)²≤8/5
2x+y≤2√10/5

追问

1=4x^2+y^2+xy≥5xy ？

追答

基本不等式 4x^2+y^2≥2根号(4x^2+y^2)=4xy

追问

这题只能用判别式 xy 是实数 不是正数

追答

呵呵，可以的，在关平方的式子，不要求>0，如a方+b方>=2ab

追问

4x^2+y^2+xy≥5xy 取等号时 2x=y xy《=1/5 取等号时 x=y 所以解法错误

追答

2x=y时，xy《=1/5，哪来 x=y这条件

追问

4x^2+y^2+xy≥5xy 取等号时 2x=y
而得出xy《=1/5 取等号时 x=y 所以解法错误

追答

这里只用一次基本不等式，哪来两个条件

Answer 4

设2x＋y=m，则y=m－2x，代入已知方程中，化简得：6x²－3mx＋m²－1=0，则其判别式=9m²－24(m²－1)≥0，得：m²≤8/5，则－2√10/5≤m≤2√10/5，从而最大值是2√10/5。

Answer 5

4x^2+y^2+xy=1化简得(2x＋y)^2=1+xy然后
xy<=(x+y)^2则
(2x＋y)^2=1+xy<=1+(2x＋y)^2/4
2x＋y看作整体 解得:－2√3/3≤2x＋y≤2√3/3