Question

数学必修二 几何题！！！

如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形， (1)求证：CD||平面EFGH； (2)求异面直线AB，CD所成的角的大小

Answer 1

E和F分别是AC和BC中点
所以EF//AB，且EF=AB/2

同理
HG//AB,GH=AB/2

所以
HG//EF，且HG=EF
所以四边形EFGH是平行四边形
一定在一个平面

同样可以根据中位线得到
EH//CD
所以
CD//平面EFGH

空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3，E、F分AD、BC上的点，且AE∶ED=BF∶FC=1∶2，EF= 求异面直线AB和CD所成的角。
解：如图2，连结BD，作EG‖AB，
交BD于点G，连结GF。
∴AE∶ED=BG∶GD。
图2
又AE∶ED=BF∶FC，

故BG∶GD=BF∶FC
∴ GF‖CD。
∴∠EGF (或补角)就是异面直线AB和CD所成的角。
在ΔEGF中，EG= AB=2，GF= CD=1，EF= 。
根据余弦定理，有cos∠EGF= =–
∴∠EGF=120°
故异面直线AB和CD所成的角为60°

Answer 2

1）因为截面EFGH是一个矩形，所以FE||GH,由线面平行判定定理，可得FE||平面BCD,再根据线面平行的性质定理，得FE||CD，再根据线面平行判定定理，可得CD||平面EFGH
2）有1）FE||CD。同理可证得AB||FG，所以角GFE就是异面直线AB，CD所成的角，故大小为90度。

Answer 3

（1）因为两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线互相平行，所以CD平行于EF，即CD||平面EFGH，（2）同理AB平行于FG，又EF//FG，所以所成的角为90度。
下面是第一问那句话的证明。
设平面α与平面β交线为l，a、b分别位于α、β内且平行。假设l与a不平行，那么过l上任意一点P可以作一直线c平行于a，且c位于平面α内。那么c上除了P点以外的点都不在平面β内。于是c与b不平行，但c与a平行，所以a与b不平行，这与题设矛盾。从而l必平行a，由公理知l也平行b