Question

如图1，一等腰直角三角形GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD保持不动，将

（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM与FN的长度，猜想BM与FN满足的数量关系，并说明理由。（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N时，此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由。

Answer 1

解：（1）BM=FN
理由：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形
∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF
又∵∠BOM=∠FON
∴△OBM≌△OFN
∴BM=FN
（2）BM=FN仍然成立
理由：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF
∴∠MBO=∠NFO=135°
又∵∠MOB=∠NOF
∴△OBM≌△OFN
∴BM=FN

这个是规范的答法，老师教的。

Answer 2

解：（1）BM=FN．
理由：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF．
在△OBM和△OFN中，
∵∠F=∠ABDBO=OF∠BOM=∠OFN​
∴△OBM≌△OFN（ASA）．
∴BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．
理由：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
在△OBM和△OFN中，
∵∠MBO=∠NFOOB=OF∠MOB=∠NOF​
∴△OBM≌△OFN（ASA）．
∴BM=FN．

Answer 3

设：EF与BD的交点为H
可以通过证明得到三角形NHF与三角形MHE是全等三角行，对应边BM与FN相等。