Question

已知圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，弦长之比为3：1.在满足条件（1）、（2）

请写清楚为什么要这么做。

已知圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，弦长之比为3：1.在满足条件（1）、（2）得所有圆中，求圆心到直线
l：x-2y=0得距离最小的圆的方程

Answer 1

设圆心坐标（m,n),则圆方程 （x-m)^2 + (y-m)^2 = r^2；
y轴弦长为2，那么 令原方程中x=0，可解得弦长=2*（r^2 - m^2)^0.5 =2---------（1）；
弦长之比为3:1，那么 劣弧所对圆心角为90度，即x轴截得弦长为2^0.5 * r.同上，令原方程中
y=0,可解得x轴弦长=2*（r^2 - n^2)= 2^0.5 *r-------------（2）；
联立（1）、（2）两式，消去r，得到圆心轨迹方程 2*n^2 - m^2 =1;
至此，该题转化为在双曲线上求一点，使之距离直线x - 2y =0距离最小的问题。
知道双曲线上此点处斜率为该直线斜率，可求得圆心坐标（两个点，第一、三象限各一个），继而求得圆的方程。