Question

直三棱柱ABC-A1B1C1各侧棱和底面边长均为a

直三棱柱ABC-A1B1C1各侧棱和底面边长均为a,点D是CC1上任意一点,连结A1B,BD,A1D,AD，则三棱锥A-A1BD的体积为？

Answer 1

三棱锥A-A1BD，我们可以把它看做是以面ABA1为底面，以D点为顶点的三菱锥。
又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱且侧棱和底面边长均为a。
所以三角形ABA1的面积S=1/2*a*a ， 且CC1上任意一点到面ABA1的垂直距离都一样，所以可以过C点做辅助线CP垂直于AB，（CP即为三棱锥A-A1BD的高）可求的CP=（根号3）/2*a
所以V=1/3*S*CP=（根号3）/12*a*a*a

Answer 2

把三棱柱分成4个小棱锥，D-ABC、D-A1AB、B-A1B1C1、D-A1B1C1，
VD-ABC+VB-A1B1C1+VD-A1B1C1=S△ABC*CD/3+S△A1B1C1*BB1/3+S△A1B1C1*C1D/3
=S△ABC*BB1/3+S△A1B1C1*CC1/3=2S△ABC*BB1/3，
则VA-A1BD=V三棱柱-2S△ABC*BB1/3=S△ABC*BB1-2S△ABC*BB1/3=S△ABC*BB1/3，
S△ABC=√3a^2/4,
∴VA-A1BD=(√3a^2/4)*a/3=√3a^3/12.