Question

一道考研数学题

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x),其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点（6，f（6））处的切线方程。
请写详细步骤，非常感谢O(∩_∩)O~

Answer 1

f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x)中由于f(x)是连续函数，
因此当x→0时有f(1+sinx)=f(1-sinx)=f(1) 有
f(1) =0
由f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x) 两边同时除以sinx
在x→0时有lim (f(1+sinx)-3f(1-sinx))/sinx=lim 8x/sinx
x→0 x/sinx=1 则
lim (f(1+sinx)-3f(1-sinx))/sinx=8
lim (f(1+sinx)-f(1))/sinx-3(f(1-sinx)-f(1))/sinx=8
由于f(1)的导数存在，则f'(1)=-2
f(x)是周期为5的连续函数，则f(1)=f(1+5)=f(6)，则f(6)=0
f'(1)=f'(6)=-2
则在y=f(x)在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+12

追问

f'(1)=2是怎么算出来的？O(∩_∩)O谢谢

Answer 2

楼上做得真好啊，应该是用的导数的定义：lim (f(1+sinx)-f(1))/sinx-3(f(1-sinx)-f(1))/sinx=8
等价于lim (f(1+sinx)-f(1))/sinx+3lim｛f(1）-f(1-sinx)｝)\sinx=4f'(1)=8既是f'(1)=2