Question

高中几何

1. 正方体ABCD-A1B1C1D1中 PQ是异面直线A1D和AC公垂线，则直线PQ与BD1关系是什么？ 平行 异面 垂直 相交 哪个 详解 谢谢 还有 解释一下公垂线 急有哪些性质

2.若关于x的方程|x-1|-kx=0有且只有一个正实数解，则实数的取值范围是？详解

Answer 1

1、PQ与BD1是平行关系。
第一种方法，直接用空间几何的定律：
AC垂直BD,同时AC也垂直DD1，所以AC垂直于面BDD1，故AC垂直BD1
同理可以知道A1D垂直于面ABD1，所以BD就是异面直线A1D和AC公垂线
第二种方法，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，并假定立方体边长为1。
标出各点的坐标，利用PQ是异面直线A1D和AC公垂线，可列出方程
x+y=0
y+z=0
所以向量PQ=（1.-1.-1），发现和BD1平行。BD1=（-1,1，-1）
公垂线是指同时垂直于两条异面直线的直线。因为和两条直线都平行，所以一般都可以求出来，由线线垂直推线面垂直或是面面垂直、、、、、、

2、“|x-1|-kx=0有且只有一个正实数解”可以转化成两个函数的焦点个数。
即F(X)=|x-1|和F(X)=kx两个函数的图像只有一个交点
画图就行。其中F(X)=|x-1|的图像是V字形，因F(X)=kx比过原点，故K大于1或小于-1

追问

第一题的第一种方法最后也没有结论啊 最后怎么样得出平行的 没太明白 还望指点 谢谢
第二题 最后结果是k≥1 或k＝0啊

追答

第一种方法里不是已经得出BD1就是异面直线A1D和AC公垂线了吗，所以空间内只要跟BD1平行的直线就是异面直线A1D和AC公垂线！所以公垂线直线PQ与BD1平行~~

第二题的话，不好意思，是我题目看错了。它是”有且只有一个正实数解“，我看成实数解了~~
方法也一样，画图就能解决。但注意要分类讨论，分成K不等于0和等于0两类。答案就出来了~

还有楼下的认为是相交的那位，我们这是在三维的空间内，每条直线都是可以任意移动的~~
照你这么说空间内就不存在两条相互平行的直线了！
所谓相交就是两条直线有且只有一个交点！！

Answer 2

那个，楼上两位的方法我都想了想，PQ是异面直线A1D和AC的公垂线，已找到直线A1D和AC的公垂线是BD，则BD就是PQ了吧，BD和BD1不就应该是相交的吗？提问的你有答案没？？？答案是平行？？要是平行的话就当我没说过。要是没答案的话我就把我的想法发上来。

关于第二问，你的答案是没错，楼上的回答思路也很好，不过就是出了一点小问题，咳，，你要是回复我，我再把我的想法发上来。

追问

呵呵 你这个人有意思呵呵 第一题就是平行 没错
第二题还请这位高人解释一下 不胜感激

追答

那个.......................第一题，是平行，我错了，我悔过。（别问我为什么会说是相交的，我原来想的那条直线怎么动都是和PQ相交的，咳。。。我起码也是高中数学水平，看的明白三维图。）

第二题，你问的是“有且只有一个正实数解，则实数的取值范围是？”那你为什么到最后答案是K的范围？？？？

Answer 3

1、直接用空间几何的定律或作辅助线：
连接BD 连接AD1。因为是正方体，所以很简单就可以证明
AC垂直BD,同时AC也垂直DD1，所以AC垂直于面BDD1，故AC垂直BD1
同理可以知道A1D垂直于面ABD1，所以BD就是异面直线A1D和AC公垂线
所以PQ与BD1关系是平行
2、此题楼上的大大回答的很好。如果你硬要用数学的方法解答就有些繁琐了：

劳力不易解

追问

第二题答案是k≥1或k=0啊