Question

如图9，已知抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴交与点A(-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交与点C（2）设E是线段AB

上的动点，作EF平行AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标

Answer 1

解：（1）由题意，得： {16-4b+c=012+b+c=0，
解得 {b=32c=-2；
∴y= 12x2+ 32x-2；

（2）由（1）知：C（0，-2）；
则AC2=AO2+OC2=20，BC2=BO2+OC2=5；
而AB2=25=AC2+BC2；
∴△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°；
∵EF∥AC，
∴EF⊥BC；
∵S△CEF=2S△BEF，
∴CF=2BF，BC=3BF；
∵EF∥AC，
∴ BEAB=BFBC=13；
∵AB=5，
∴BE= 53；
OE=BE-OB= 23，故E（- 23，0）；

（3）设P点坐标为（m， 12m2+ 32m-2）；
已知A（-4，0），C（0，-2），
设直线AC的解析式为：
y=kx-2，
则有：-4k-2=0，k=- 12；
∴直线AC的解析式为y=- 12x-2；
∴Q点坐标为（m，- 12m-2）；
则PQ=- 12m-2-（ 12m2+ 32m-2）=- 12m2-2m；
∴当m=-2，即P（-2，-3）时，PQ最大，且最大值为2．
故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（-2，-3）．

2010年常德市中考

Answer 2

由题意可得y=1/2x²+bx+c=1/2(x+4)(x-1)=1/2x²+3/2x-2
AB=5
即C点坐标为（0，-2）
∵S△CEF:S△BEF=CF:BF=2:1
EF∥AC
∴CF:BF=AE:EB=2:1
∴AE:AB=2:3
而AB=5
∴AE=10/3
设E(a,0)， a＞-5
则AE=a+5=10/3
解得a=-5/3
即E(-5/3,0)