Question

高等数学问题，高手进

设曲线C：x平方+Y平方-2Z平方=0 x+y+3z=5 求C上距离xoy面最远的点和最近的点
请大家给出详细解答过程好吗

Answer 1

下面的第二个回答很可取，用拉格朗日乘子求极值。。

Answer 2

这个题是求条件最值，即在x^2+Y^2-2Z^2=0和x+y+3z=5的条件下lzl的最值。而lzl取最值即z^2取最值。设F(x，y，z，θ，φ)=z^2+θ(x^2+Y^2-2Z^2)+φ(x+y+3z-5)；令
F'x=2θx+φ=0，F'y=2θy+φ=0，F'z=2z-4θx+3φ=0，F'θ=x^2+Y^2-2Z^2=0，F'φ=x+y+3z-5=0；
解得x=y=±z，代入x+y+3z=5，得x=y=z=1，或z=-5，x=y=5，所以最近点(1，1，1)距离为1，最远点(-5，-5，5)，距离为5。

Answer 3

x^2+y^2=2z^2,设 x=根号2)zcosθ， y=根号2)zsinθ， 代入x+y+3z=5中：z=5/(2sin(θ+π/4)+3)
C上点M（x,y,z)与xoy面的 距离 d=|z|=5/(2sin(θ+π/4)+3) ,
最小为1，θ=π/4时取到，M(1,1,1)，最大不存在

Answer 4

最近点（-25/36、-25/36、-5/12），最远点，无