Question

菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且∠EAF=∠B 。 (1).如果∠B=60°，求证：AE=AF；

(2).如果∠B=α，（0°＜α＜90°）（1）中的结论：AE=AF是否依然成立，请证明;

(3).如果AB长为5,菱形ABCD面积为20，设BE=x，AE=y，求y关于x的函数解析式，兵写出定义域。

Answer 1

（1）连接AC。不难得出以下结论：∠CAB=∠ACD=60°，AC=AB，
因为∠EAF=∠B=60°，所以，∠EAF-∠EAC=∠BAC-∠EAC，即∠CAF=∠BAE。
所以，三角形ABE全等三角形ACF，所以，AE=AF。
（2）（1）结论仍然成立。作AM垂直BC于M，AN垂直CD于N，显然，AM=AN，∠MAN=∠B=α。∠AME=∠ANF=90°。
因为∠EAF=∠B=∠MAN，所以，∠EAF-∠MAF=∠MAN-∠MAF（如果图画的稍不同，可能是减∠EAN），所以，∠EAM=∠FAN，所以，三角形EAM全等于三角形FAN，所以，AE=AF。
（3）当AB=5，S菱形ABCD=20时，AM=4，BM=3，所以，EM=|x-3|。
在直角三角形EAM中，由勾股定理有，AE=根号（EM^2+AM^2)，
即有，y=根号（（x-3）^2+16)=根号（x^2-6x+25）。
因为点E在边BC上，所以x大于0且小于5（带等号也可以）。

Answer 2

首先菱形四边相等,对角相等
应用正弦定理 设∠BAE为∠β. AE/sinα=AB/sin(180-α-β) AF/sinα=AD/sin(α+β)
因为AB=AD,当α+β处于0到180度时, sin(180-α-β)=sin(α+β) AE=AF
α和β是一个三角形中的两个角,显然之和小于180大于0
如果α大于等于90,显然不存在E和F两点使∠EAF=∠B 因为如果α大于等于90度, ∠α=∠EAF小于∠BAD 与∠α大于等于∠BAD矛盾
所以(1) (2)都成立

BCsinα=20/AB sinα=0.8 然后用余弦定理 y=[25+x平方-10x cosα ]1/2次方
E在BC上.所以X大于0小于(BC=5)

Answer 3

前两位朋友答一二问，解答得好好，但第三问容我说说浅见。
（1）连接AC，则对角线AC平分∠BAD。
∵AD∥BC，∠B=60°，∴∠BAD=120，
∴∠CAB=∠ACD=60°，
∴△ABC是正三角形，即有AC=AB，
∵∠EAF=∠B=60°，∴∠EAF-∠EAC=∠BAC-∠EAC，即∠CAF=∠BAE。
又∵AB∥CD，∠ACD=∠BAC=∠B=60°
∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF。

（2）AE=AF依然成立
证， 设∠BAE为∠β，则∠BEA=π-α-β
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC，∠B=∠D
∵AD∥BC，且∠EAF=∠B ，∴∠B+BAD=π，即α+β+α+∠FAD=π
∴∠FAD=π-2α-β，∠AFD=α+β
运用正弦定理（是最简便的）
AE/sin∠B=AB/sin∠BEA AF/sin∠D=AD/sin∠FAD
即AE/sinα=AB/sin(π-α-β)=AB/sin(α+β)
AF/sinα=AD/sin(α+β)
∴AE=AF
（3）作AG⊥BC于G，BC*AG=S=20,
AG=20/BC=20/AB=4，于是BE=√AB^2-AG^2=3
易知CE=2，GE==|x-3|，cosα=CE/AB=0.6
在直角三角形AEG中，有Y^2=(X-3)^2+4^2
得Y与X的函数解析式为Y=√（X^2-6X+25）
经分析，BE的极值在E点到达C点（即与C点重合）和F点与C点重合时取得
当E点到达C点（即与C点重合），X取得最大值5
当F点与C点重合时，EC=5-X，AC==√AG^2+CE^2=2√5
由余弦定理，CE^2=AE^2+AC^2-2AE*AC*cosα
即（5-X)^2=Y^2+20-2Y*2√5*0.6
化简，（x-1)(x-25）=0
所以，x=1(X=25,不合题意，舍去0）
此时，x取得最小值1
综上，定义域为（1，5）