Question

点O是三角形ABC所在平面内一点，点O是三角形ABC内心。

求证│向量BC│·向量OA+│向量CA│·向量OB＋│向量AB│·向量OC＝零向量

Answer 1

O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延长CO交AB于D，根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，
所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。

必要性：
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，
∵O是内心
∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE
过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则，得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

追问

充分性：所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE
分别怎么来的？我看１小时了～～=_=

追答

这是内角平分线的一条性质啊：
三角形内角平分线的性质定理：三角形的内角平分线内分对边成两条线段，那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。
内角平分线分对边成比例，比如CF是角平分线，
则CF分对边成比例：AF/BF=CA/CB,即AF/BF=b/a，

反之也成立，
三角形内角平分线的判定定理：在⊿ABC中，若点D按照边AB和边AC的比内分边BC，即AB/AC=BD/CD,则线段AD是∠BAC的平分线。