Question

如图1,已知:抛物线y=1/2x^2+bx+c与x轴交于点C,经过B、C两点的直线是y等于2分之1x﹣2，连接AC.

（1）B、C两点坐标分别为，抛物线的函数关系式为
（2）判断△ABC的形状，并说明理由
（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点坐标；若不能，请说明理由
我今晚就要啊

Answer 1

应该是抛物线与X轴交于A，B两点，与Y轴交于点C。我按此解答。
（1）对于直线y=x/2﹣2，当x=0时，y= - 2；当y=0时，x=4；所以，点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，-2）。把B，C的坐标代入抛物线的解析式，求出b=-3/2，c=-2，
所以，抛物线解析式为：y=1/2x^2-3x/2-2。
（2）从抛物线的解析式，求出与X轴的另一交点A的坐标为（-1，0），由OA：OC=OC：OB，角AOC=角BOC=直角，得，三角形AOC相似三角形COB，于是，角ACO=角COB，
而角COB+角BCO=直角，所以，角ACO+角BCO=直角，所以，三角形ABC是直角三角形。
（3）设D，G在AB边上，E，F分别在边AC，BC上。因为四边形DEFG是矩形，所以，EF平行AB，DE垂直AB。于是，不难得出三角形CEF相似三角形CAB，
所以，（OC-DE）：OC=EF：AB。
设DE=a，则EF=5（2-a）/2，
矩形DEFG的面积：S=a*5（2-a）/2=-5/2（a-1）^2+5/2,
当a=1时，S有最大值。即DE=1，EF=2.5。这时，E，F分别是边AC，BC的中点，
所以，点D，G的坐标分别为（-0.5，0），（2，0）。