Question

已知函数f(x)=a/x+bx其中a＞0,b＞0 x∈(0,+∞),确定f(x)单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性

请 详细解答 谢谢

Answer 1

f(x)=a/x+bx,
当x大于0
设有最小值m
a/x+bx≥m
设0＜x1＜x2＜m
f(x2)-f(x1)=a/x2+bx2-a/x1-bx1
f(x2)-f(x1)=(ax1-ax2)/x1x2+b(x2-x1)
f(x2)-f(x1)=(x1-x2)[a/x1x2-b]
∵0＜x1＜x2＜m
∴0＜x1x2＜m^2
∵(x1-x2)＜0
∴a/x1x2-b＞0时递减，a/x1x2-b<0递增
当a/x1x2-b＞0
x1x2<a/b
则a/b=m^2
m=√(a/b)
则函数在（0，=√(a/b)）上递增
在（√(a/b)，+∞）递减
高中老师给我说过这过程满分

Answer 2

两种方法，一是对勾函数模型，f(x)=a/x+bx，f(x)=b[(a/b)/x+x].因为a＞0,b＞0，所以在x∈(0,根号a/b）单减，在（根号a/b,+∞）单增
第二种方法，是对原函数求导，令导函数大于0，即可解的