Question

已知函数f(x)=x+t/x(t>0)和点p(1,0),过点p作曲线y=f(x)的两条切线pm,pn切点分别是m()x1,y1),n(x2,y2)

(1）求证：x1,x2为关于x的方程x^2+2tx-t=0的两根
（2）设|mn|=g(t),求函数g(t)的表达式

Answer 1

1、因为pm,pn与函数f(x)相切，由于切线的斜率等于函数在切点的导数，因此有(1-t*x^-2)(x-1)=x+t/x。化简即得x^2+2tx-t=0。
2、g^2(t)=(x1-x2)^2+(x1-x2+t/x1-t/x2)^2。由根与系数的关系，有x1+x2=-2t，x1x2=t。并且x1^2+x2^2=4t^2-t。将(x1-x2)^2+(x1-x2+t/x1-t/x2)^2展开化简为4t^2-4t。开根号即得g(t)。

Answer 2

1，这个不好表达。仔细看吧，因为p(1,0)不在f(x)=x+t/x图像上，求导得导函数为Y=1-t/(x^2),所以过M的切线方程为Y-Y1=[1-t/(x1^2)]*(X-X1),因为切线过（1，0），代入Y-Y1=[1-t/(x1^2)]*(X-X1),得-Y1=[1-t/(x1^2)]*(1-X1),而Y1==x1+t/x1，代入上式化简得X1^2+2tx1-t=0,同理得切线PN，得X2^2+2tx2-t=0
故X1,X2都满足方程x^2+2tx-t=0，故得证
2，|mn|=根号下[（XI-X2)^2+(Y1-Y2)^2],就是两点间距离公式，Y1==x1+t/x1，Y2==x2+t/x2，所以Y1+Y2=（X1+X2)+t（X1+X2)/X1X2,所以mn|=根号下[（XI-X2)^2+(Y1-Y2)^2],全都转化为X1+X2，和X1*X2的式子来表示，而由1问知，X1,X2是X2^2+2tx2-t=0的两个根，故用伟达定理即可得出|mn|=g(t),的表达式来