Question

帮忙解决两个高数证明题,见下图,先给100,解决了,继续给

Answer 1

1.所证即arctanx2-x2<arctanx1-x1
∵x2>x1
故只要证明函数y=arctanx-x是减函数即可。
这里y'=1/（1+x^2）-1＝-x^2/1+x^2≤0恒成立，故
y=arctanx-x是减函数成立，原命题得证。
2.构造函数f(x)=e^x-x-1
f'(x)=e^x-1，x≥0时，f'(x)≥0恒成立，故f(x)在［0，＋∞）上是增函数
当x>0时，f(x)>f(0)=0
即f(x)>0成立

e^x-x-1>0
e^x>x+1

Answer 2

证明第二题：原题等价于求证e^x-1-x>0在x>0恒成立，
设f(x)=e^x-1-x，故只需证明f(x)的最小值>=0即可
因为f'(x)=e^x-1，当x>0时，易知f'(x)=e^x-1>0，所以函数f(x)=e^x-1-x在x>0上单调递增，
故f(x)的最小值>f(0)=0,所以e^x-1-x>0在x>0恒成立
即有：当x>0时，e^x>1+x

证第一题：因为f(x)=arctanx的导函数为f'(x)=1/(1+x^2)>0，所以f(x)=arctanx在定义域上单调递增。f(x)=arctanx在其图像上任意一点处切线的斜率f'(x)=1/(1+x^2)<=1，所以对任意的x1，x2，当x1<x2时，都有割线的斜率[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)<1
即有：f(x2)-f(x1)<x2-x1故有：arctanx2-arctanx1<x2-x1

Answer 3

Answer 4

wo ke yi yong tuxiang ba ta jie jue le, ke shi zai dian nao shang wo hua bu chu lai