Question

已知函数f(x)=kx,g(X)=(lnx)/x 若不等式f(x)≥g(X)在区间(0,+∞)上恒成立,求K的取值范围

Answer 1

f(x)-g(x)=kx-(lnx)/x =(kx²-lnx)/x ‎(x>0),
令h(x)=kx²-lnx,
当k<0时，h(1)=k-ln1=k<0,f(1)-g(1)<0,f(1)<g(1),不合题意，
当k=0时，f(x)=0,g(x)=(lnx)/x,当x>1时，g(x)>0,f(x)<g(x),不合题意，
当k>0时,
h'(x)=2kx-1/x=(2kx²-1)/x,
令h'(x)=0,得，2kx²=1，kx²=1/2,x=√[1/(2k)] (x>0)
当x>√[1/(2k)]时2kx²-1>0,
当x<√[1/(2k)]时2kx²-1<0,
所以x=√[1/(2k)] 为h(x)在(0,+∞)上的唯一极小值点，即最小值点，
h(x)在(0,+∞)上的最小值为h{√[1/(2k)]}=k{√[1/(2k)]}²-ln{√[1/(2k)]}=1/2-(1/2)ln[1/(2k)]=(1/2){1-ln[1/(2k)]},
要使不等式f(x)≥g(X)在区间(0,+∞)上恒成立,则须f(x)-g(x)=(kx²-lnx)/x=[h(x)]/x>=0(x>0)恒成立
即h(x)>=0恒成立,则须h(x)最小值)(1/2){1-ln[1/(2k)]}>=0,即1-ln[1/(2k)]>=0，ln[1/(2k)]<=1=lne,
0<1/(2k)<=e,2k>=1/e,即k>=1/(2e).
综上，若不等式f(x)≥g(X)在区间(0,+∞)上恒成立,k的取值范围为[1/(2e),+∞).

Answer 2

解：由f(x)≥g(X)得kx-（lnx)/x≥0
则k≥（lnx）/x²
令h（x）=（lnx）/x²
h’（x）=（x-2xlnx）/x^4=【x（1-2lnx）】/x^4
令h’（x）=0 解得x=根号e
x∈（0，根号e】 h’（x）≥0 h（x）单调递增
x∈（根号e，+∞） h’（x）＜0 h（x）单调递减
∴h（x）max=h（根号e）=1/（2e）
∴k≥1/（2e）

Answer 3

太简单