Question

函数极限存在的柯西准则的证明,高手来回答,感谢!

是这样的,在卓里奇的数分教材中关于函数极限存在的柯西准则的证明的最后部分我看不大懂,帮高手来解释一下,万分感谢!请耐心看完的描述

要证明∀ε>0,存在B∈B,使得函数f:X->R在B上的振幅小于ε,则f关于基B有极限

教材证明如下:顺次取1,1/2,...1/n,...作为ε,对它们取基B的一列元素B`1,B`2,....,B`n,使得振幅ω(f;B`n)<1/n,n∈N.由于Bn不为空,可在每个Bn中取一点xn,则序列f(x1),f(x2),...,f(xn)...是基本列.由于Bn∩Bm不为空,借助于公共点x∈Bn∩Bm,得到|f(xn)-f(xm)|<=|f(xn)-f(x)|+|f(xm)-f(x)|<1/n+1/m,由于{f(xn)}是基本列,所以它有极限A,上面这个不等式若令m->∞,则有|f(xn)-A|<=1/n,由于ω(f;Bn)<1/n,所以得到结论:如果n>N=[2/ε]+1,则在任意x∈Bn,有|f(x)-A|<ε.证毕

俺的问题是最后部分看不大懂:
1为何是|f(xn)-A|<=1/n,应该是|f(xn)-A|<1/n才对的阿,难道教材印刷错误?
2n>N=[2/ε]+1是怎么回事,难道n>1/ε不更严格么???为何用2除以ε,并且要取整后再加1

俺是数学低手,逻辑思维能力非常受限,稍微跳跃多一些,我就反应不过来.请高手给我解答,感谢~~~另外如果您有卓里奇的数分教材(第四版),不妨直接翻到116页就是那个证明了.

Answer 1

LZ打得辛苦:) 不过或许有点问题，因为m来路不明。不过我大概能看明白。

1. 对于极限来说，≤和<在这里这是无所谓的。
举个例子，极限定义说an->a是指任意ε>0, 存在N, 使得任意n>N, |an-a|<ε. 这个定义里的“>N”, "<ε"换为“≥N”, "≤ε"都没问题。这点非常直观，请LZ想明白~~

另外，由你叙述的过程也只能得到|f(xn)-A|≤1/n, 得不到严格<. 当然，理解的关键还是意识到这里是≤还是<完全无碍大局。

2. 注意这里已经得到的只是|f(xn)-A|≤1/n, 而不是|f(x)-A|≤1/n. 要想得到后者，还蕴含着一步推理：
任意x∈Bn, 由于ω(f;Bn)<1/n, 而xn, x∈Bn. 故|f(xn)-f(x)|<1/n. 从而：
|f(xn)-A| ≤ |f(xn)-f(x)| + |f(xn)-A| < 1/n+1/n = 2/n.
因此要取N>2/ε.

希望LZ在逻辑和直观两方面都加强一下，特别是后者。越是抽象的概念和定义越要花功夫直观理解，否则会陷入逻辑符号的汪洋之中。

Answer 2

我看不清楚你写的过程，所以可能的话，将那页发个截图上来。