Question

求高二数学题解答过程！

求同时满足下列条件的所有复数z：（1）z-10/z是实数，且1＜z+10/z≤6（2）z的实部和虚部都是整数.
答案：z=1±3i 或3±i

Answer 1

设 z = a + bi, a,b为实数。
z + 10/z = a + bi + 10/(a+bi)
= a + bi + 10(a-bi)/[a^2 + b^2]
= a + 10a/[a^2 + b^2] + {b - 10b/[a^2 + b^2]}i为实数
b[a^2 + b^2 - 10] = 0. ...(1)
1 < a + 10a/[a^2 + b^2] <= 6. ...(2)
若 b = 0.
1 < a + 10/a,
a > 0.
a + 10/a >= 2(a*10/a)^(1/2) = 2(10)^(1/2) > 2*3 = 6
与a + 10/a <= 6 矛盾。
故b 不等于0，于是
a^2 + b^2 - 10 = 0
当a，b均为整数解时，共有四对（1，±3）和（3，±1 ）
题目中可能错了，那个z-10/z中间应该是加号才对，否则你的答案给的也不对。希望能够帮到你。

Answer 2

把z当x代换求解即可

Answer 3

你抄错题了。你把z＋10/z是实数写成了：z－10/z是实数。
设z＝a＋bi，其中a、b是实数。
z＋10/z＝a＋bi＋10/（a＋bi）＝a＋bi＋10（a－bi）/（a^2＋b^2）
＝a＋10a/（a^2＋b^2）＋bi－10bi/（a^2＋b^2）
∵z－10/z是实数，∴bi－10bi/（a^2＋b^2）＝0，得：a^2＋b^2＝10。
又z＋10/z＝a＋bi＋10/（a＋bi）＝a＋bi＋10（a－bi）/（a^2＋b^2）＝a＋bi＋a－bi＝2a
∴1＜2a≤6，得：1/2＜a≤3，可见：a可取的整数是1、2、3。
考虑到：a^2＋b^2＝10，经检验，a不能取2，否则b不能为整数。
由a＝1，得b＝±3；　由a＝3，得b＝±1。
∴要求的复数z是：1±3i　或3±i