Question

设函数f(θ)=-1/2+(sin5θ/2)/(2sinθ/2),0<θ<π

1,将f(θ)表示成cosθ的多项式
2,求使函数y=acosθ+a的图像与y=f(θ)的图像至少有一个交点的实数a的取值范围。

Answer 1

解：
1.f(θ)=-1/2+(sin5θ/2)/(2sinθ/2)=-1/2+[sin(2θ)cos(θ/2)+cos(2θ)sin(θ/2)]/[2sin(θ/2)]
=-1/2+cos(2θ)/2+[2sinθcosθcos(θ/2)]/[2sin(θ/2)]
=-1/2+cos(2θ)/2+2cosθ[cos(θ/2)]^2=-1/2+[2(cosθ)^2-1]/2+cosθ(cosθ+1)
=2(cosθ)^2+cosθ-1 (0<θ<π)
2.y=f(θ)=acosθ+a=2(cosθ)^2+cosθ-1
则：2(cosθ)^2+(1-a)cosθ-1-a=0
令：A(x)=2(cosθ)^2+(1-a)cosθ-1-a t=cosθ 则原式为：A(x)=2t^2+(1-a)t-1-a=0 函数开口向上，对称轴为：x=(a-1)/4
由于0<θ<π 故：-1<t<1
由于：A(-1)=0
所以：在(-1，1 )间最多只有一个交点。
根据二次函数的对称性，故此时有：
b^2-4ac=(1-a)^2+8(1+a)>0,且 -1<(a-1)/4<0
解得：
-3<a<1

解得：

Answer 2

1.f(θ)=-1/2+sin(θ/2+2θ)/(2sinθ/2)=-1/2+(sinθ/2cos2θ+cosθ/2sin2θ)/(2sinθ/2)
=-1/2+(cos2θ)/2+cosθ/2sinθcosθ/(sinθ/2)
=-1/2+(2cosθ-1)/2+2(cosθ/2)^2cosθ
=cosθ-1+2*(1+cosθ)/2*cosθ
=cosθ^2+2cosθ
2.y=acosθ+a y=f(θ)联立
cosθ^2+2cosθ-acosθ-a=0
x^2+(2-a)x-a=0在[-1,1]有根
当(2-a)/2<-1 即a>4
1+a-2-a<=0
1+2-a-a>=0 a<=3/2
当-1=<(2-a)/2<=1 即0<a<4
1+a-2-a>=0
1+2-a-a>=0 a<=3/2
当(2-a)/2>1 即a<0
1+a-2-a>=0
1+2-a-a<=0

综合之 0<a<=3/2

Answer 3

用公式cos（A+B）和cos（A-B）混合一下就行了