Question

高中排列组合隔板法的应用

有个问题很纳闷：将12个相同的小球分装到3个不同的盒子中，每个盒子至少一个的分法和将12个相同的小球分装到3个相同的盒子中，每个盒子至少一个的分法。两种问法的解答有何不同

Answer 1

两个问法的解答完全不同,前一种问法用隔板法没有任何问题,
比较第一种问法,第二种问法应当用分类讨论思想
1.如果三个盒子内的数量都相同有1种方法(在第一种问法中这种情况同样算了1种)
2.仅有两个盒子内数量相同有4种方法(相同的数量可以为1.2.3.5)(在第一种问法中每种情况都算了3种)
3.没有任何盒子内数量相同有7种(分别为1+2+9 1+3+8 1+4+7 1+5+6 2+3+7 2+4+6和3+4+5)
(在第一种问法中每种情况都算了6种)
所以第二种问法仅仅有12种方法.第一种问法有11*10/2=55种方法

Answer 2

三个不同的盒子，你可以编号①②③，那么12个小球装在哪个盒子里需要分别考虑、
而三个相同的盒子你可以看做①①①，只考虑数量，不用排列。
也就是不同的盒子需要考虑排列，例如12个球分为456，那么第一种需要考虑4在①中，在②中，在③中的几种情况，而盒子相同则不需要考虑。
不懂追问。。

追问

那如果是4,4,4这种情况呢，在考虑排列就多余了呀。隔板法是适合第一种呢还是第二种呢

追答

嗯，只要除掉444就可以了。
隔板法不是应用在这里的。
比如这个题：
有7盏路灯，为了节约用电要关掉3盏，但是不能连续关掉相邻的两盏
那么就要用隔板法(貌似也可以叫插入法)
X X X是三盏关闭的，把四盏插入到4个位置，中间两个必须要，剩下两盏随便
那么就有4×4=16种关闭方法、额，也不知道我错了没……

追问

嘿嘿，你好像也不大明白。那是插空不是隔板。
有一个例题：将10个比赛名额分到3个班级去，每个班级至少一个的分法。这才是隔板。

Answer 3

盒子不同的话，3，4，5和5，4，3是不同的分法
盒子相同的话，则是一种分法