Question

如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD,CD于点E,F连接CE.

当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；

又∵DE=DE，

∴△ADE≌△CDE，

∴∠DAE=∠DCE．

（2）我判断FG=3EF．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠G，

由题意知：△ADE≌△CDE

∴∠DAE=∠DCE，

∴∠DCE=∠G，

∵∠CEF=∠GEC，

∴△ECF∽△EGC，

∴EFEC=ECEG，

∵△ADE≌△CDE，

∴AE=CE，

∴EFAE=AEEG，

∵AE=2EF，

∴EG=2AE=4EF，

∴FG=EG-EF=4EF-EF=3EF．

Answer 2

FG＝3EF。证明如下：
∵ABCD是菱形，∴∠ADE＝∠FDE，∴AD/DF＝AE/EF。［三角形内角平分线定理］
当AE＝2EF时，有：AD/DF＝AE/EF＝2。
∵ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴CD/DF＝2，得：CD＝2DF，∴DF＝CF。
∵ABCD是菱形，∴AD∥BG，又DF＝CF，∴△ADF≌△GCF，∴AF＝FG。
由AE＝2EF，得：AE＋EF＝3EF，即：AF＝3EF，∴FG＝3EF。

Answer 3

∵四边形ABCD是菱形
∴AD=DC DE=DE 对角线BD平分∠ADC
∴△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE
∵AD‖GC
∴∠DAE=∠G
∵∠DAE=∠DCE
∴∠G=∠DCE
∠CEF=∠GEC
∴△ECF∽△EGC
∴EF/EC=EC/EG
∵AE=CE=2EF
∴EC/EG=EF/EC=1/2
∴EC=EG/2
EF=EC/2
∴EF=EG/4
∴EF:FG=1:3
∴FG=3EF

Answer 4

FG=3EF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠G，
由题意可知：△ADE≌△CDE
∴∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴EFEC=ECEG，
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∴EFAE=AEEG，
∵AE=2EF，
∴EG=2AE=4EF，
∴FG=EG-EF=4EF-EF=3EF．

Answer 5

没见图呀