Question

如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF//BC．

（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？
证明你所得到的结论．

Answer 1

(1)延长CE交AB与G
∵AE⊥CG，AE平分∠BAC
∴△AGE是等腰三角形
∴E是GC的中点
∵D是CB的中点
∴DE//AB
∴DE//BF
∵EF//BD
∴四边形BDEF是平行四边形
(2)2BF+AC=AB
延长CE交AB于M 因为AE平分角BAC且AE垂直于CM 所以AC=AM EM=EC
又因为FE平行于BC，E为CM中点，所以EF为三角形BCM的中位线，BF=FM
2BF+AC=AB

Answer 2

延长CE交AB于G，由AE平分∠BAC，CE⊥AE，可证出rt△AGE≌rt△ACE，于是AG=AC，GE=EC；
（1）、在△BCG中，D是BC的中点，E是GC的中点，所以DE∥BG；又已知EF∥BC，故四 边 形BDEF是平行四边形。
（2）、显然平行四边形BDEF以及△BCG中，BF=DE=BG/2=(1/2)(AB-AG)=(1/2)(AB-AC)。

Answer 3

延长CE交AB与G
∵AE⊥CG，AE平分∠BAC
∴△AGC是等腰三角形
∴E是GC的中点
∵D是CB的中点
∴DE//AB
∴DE//BF
∵EF//BD
∴四边形BDEF是平行四边形
(2)2BF+AC=AB
延长CE交AB于M 因为AE平分角BAC且AE垂直于CM 所以AC=AM EM=EC
又因为FE平行于BC，E为CM中点，所以EF为三角形BCM的中位线，BF=FM
2BF+AC=AB

Answer 4

延长CE交AB于G
因为AE平分∠BAC，CE⊥AE，
所以rt△AGE≌rt△ACE，
所以AG=AC，GE=EC；
（1）、在△BCG中，D是BC的中点，E是GC的中点，所以DE∥BG；又已知EF∥BC，故四 边 形BDEF是平行四边形。
（2）、显然平行四边形BDEF以及△BCG中，BF=DE=BG/2=(1/2)(AB-AG)=(1/2)(AB-AC)。