Question

1+2的平方+3的3次方+4的4次方+5的5次方……+9的9次方的和除以3，余数是几？

奥数上遇到了这种问题，我用最笨么方法算出了答案，可不知为什么，希望各位高手教教我

Answer 1

估计你还是小学生：
解：由数的整除性质和同余性质可知：
(1)3的倍数的任何次方(0除外)除以3的余数都是 0
所以，3^3 + 6^6 + 9^9 除以3余0 ①

(2)不是3的倍数的偶次方除以3的余数为 1
所以，2^2 + 4^4 + 8^8 除以3余3 也就是 0 ②

(3)1^1 除 3 余 1
5^5 和 5^2 对于3同余，它们除以3余2
7^7 和 1^7 对于3同余，它们除以3余l
所以，(1 + 2 + 1)÷3 ＝1余1 ③

答案：余数是 1

楼上的方法也很好

追问

“^”什么意思？。不错，我还真是个小学生。

追答

“^”表示次方的含义；
比如说
(3)1^1 除 3 余 1
5^5 和 2^5 对于3同余，它们除以3余2 其中的5^5 表示5的5次方；2^5表示2的5次方
7^7 和 1^7 对于3同余，它们除以3余l

追问

那您知道不知道，“±”是什么意思？我这个人就爱“打破砂锅问到底”，您别嫌追问太多

追答

“±”的意思是加减号，是一楼用到的方法：
（3k±1） 就是 2 4 5 7 8 10 等等

Answer 2

估计你还是小学生：
解：由数的整除性质和同余性质可知：
(1)3的倍数的任何次方(0除外)除以3的余数都是 0
所以，3^3 + 6^6 + 9^9 除以3余0 ①

(2)不是3的倍数的偶次方除以3的余数为 1
所以，2^2 + 4^4 + 8^8 除以3余3 也就是 0 ②

(3)1^1 除 3 余 1
5^5 和 5^2 对于3同余，它们除以3余2
7^7 和 1^7 对于3同余，它们除以3余l
所以，(1 + 2 + 1)÷3 ＝1余1 ③

答案：余数是 1

Answer 3

一个数，如果是3的倍数，则其任何次方都能被3整除；
如果不是3的倍数，则其平方被3除余1。
( 这是因为 （3k±1）^2=9k^2±6k+1=3(3k^2±2k)+1 )
所以，原式被3除的余数≡1+1+0+1+5+0+7+1+0≡1（同余）

追问

你的“±”的意思什么？