Question

如图，已知二次函数y=-x^2+ax+b的图像与x周交于A（-1/2,0），B(2,0）两点，且与y轴交于点C，

如图，已知二次函数y=-x^2+ax+b的图像与x周交于A（-1/2,0），B(2,0）两点，且与y轴交于点C，
(1)求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状，
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A,C,D,B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A,V,B,P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

y=-x^2+ax+b的图像与x周交于A（-1/2,0），B(2,0）

由0=-x^2+ax+b

使用两根和a=-1/2+2

a=3/2

两根积

-b=-1/2  *2

b=1

得y=-x^2+3x/2+1

C点位f(0)=1,C:(0,1)

AB=5/2,AC=√5/2,BC=√5

得BC^2+AC^2=AB^2

得其为直角三角形

根据抛物线图像性质，作出该大致图像，仅能作出以AC=BD的情况的等腰梯形

则D点关于对称轴与C点对称

y=-x^2+3x/2+1

对称轴为x=3/4

C点为（0,1）

D点就为(3/2,1)

根据图像性质，（角ACB为直角）能作出AC∥BP，且CB⊥BP的情况

直线AC的解析式为y=2x+1

BP∥AC

可设BP的解析式为y=2x+b

因为过B点，代人B点（2,0）

得b=-4 y=2x-4

代入y=-x^2+3x/2+1

2x-4=-x^2+3x/2+1

得另一个解为x=-5/2

代入直线y=2x-4，得y=-9

P1：（-5/2,-9）

还能作出BC∥AP，且CA⊥AD的情况

BC的解析式为y=-x/2+1

设直线AD解析式为y=-x/2+b

代入点A:(-1/2,0)

b=-1/4,y=-x/2-1/4

代入y=-x^2+3x/2+1

-x/2-1/4=-x^2+3x/2+1

另一个解为x=5/2

得P2：（5/2,-3/2）

Answer 2

该抛物线的解析式为y=-x^2+3/2x+1，△ABC是直角三角形

（2）D（3/2，17/8）
（3）是A,C,B,P吧。先求BC的解析式y=-1/2x+1，再求AP的解析式y=-1/2x-1/4，再求抛物线解析式与AP解析式组成方程组的解就可P的坐标了

Answer 3

1、将A、B的坐标代入函数方程，解方程组,得a=3/2，b=1。
抛物线的解析式为y=-x^2+3/2x+1
将y=0代入抛物线方程，得x=1，C的坐标为(0，1）
AB=5/2，AC=5^(1/2)/2，BC=5^(1/2)
AB^2=AC^2+BC^2
所以△ABC为RT△，C为直角。
2、抛物线的对称轴为x=3/4，所以C的对称点D为(3/2，1)。
3、直线CB的方程为y=-1/2x+1，
如果存在点P，则PA为过A点平行于CB的直线，其方程为y=-1/2x+m，
代入A点坐标，解得m=-1/4
联解方程y=-1/2x-1/4
y=x^2-3/2x-1
得P(5/2，-3/2)

Answer 4

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