如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4,点P是斜边AB上一个动点,点D是CP的中点,延长BD至E, 5
使DE=BD,连结AE。①求四边形PCEA的面积,②当AP的长为何值时,四边形PCEA是平行四边形。③当AP的长为何值时,四边形PCEA是直角梯形...
使DE=BD,连结AE。①求四边形PCEA的面积,②当AP的长为何值时,四边形PCEA是平行四边形。③当AP的长为何值时,四边形PCEA是直角梯形
展开
展开全部
解,连接PE,线段PE和AC的交点为F。
∵点D是CP的中点,(已知)
∴DP=DC,
∵DE=BD(已知)
∴四边形BCEP为平行四边形。(四边形对角线的交点平分对角线,四边形为平行四边形。)
PE∥BC,PE=BC
∵∠ACB=90°,
∴∠AFP=90°,PE⊥AC。
在Rt△ABC中,,∠BAC=30°,AB=4
所以,BC=(1/2)•AB=(1/2 ) X 4 = 2(直角三角形中,30度角所对的边等于斜边的1/2)
AC=√(AB²-BC²)
=√(4²-2²)
=2√3
结论①:
S四边形PCEA=S⊿APC+S⊿AEC
=(1/2)•AC•PF+(1/2)•AC•FE
=(1/2)•AC•(PF+FE)
=(1/2)•AC•PE
=(1/2)•AC•BC
=(1/2) X (2√3) X 2
=2√3
在平行四边形BCEP中,AB∥EC,PB=EC。
若四边形PCEA为平行四边形,须: AP=EC
即,PB=AP,P为AB的中点,
AP=(1/2)AB=(1/2)X4=2。
结论②:当AP=2时,四边形PCEA是平行四边形。
若四边形PCEA是直角梯形,须:PC⊥AB。
在⊿ABC中,∠BAC=90² - ∠ABC
在⊿CBP中,∠BCP=90² - ∠ABC
∴∠BCP=∠BAC=30°
BP=(1/2)BC (直角三角形中,30度角所对的边等于斜边的1/2)
=(1/2) X 2 = 1
AP=AB-BP
=4-1
=3
结论③:当AP=3时,四边形PCEA是直角梯形。
∵点D是CP的中点,(已知)
∴DP=DC,
∵DE=BD(已知)
∴四边形BCEP为平行四边形。(四边形对角线的交点平分对角线,四边形为平行四边形。)
PE∥BC,PE=BC
∵∠ACB=90°,
∴∠AFP=90°,PE⊥AC。
在Rt△ABC中,,∠BAC=30°,AB=4
所以,BC=(1/2)•AB=(1/2 ) X 4 = 2(直角三角形中,30度角所对的边等于斜边的1/2)
AC=√(AB²-BC²)
=√(4²-2²)
=2√3
结论①:
S四边形PCEA=S⊿APC+S⊿AEC
=(1/2)•AC•PF+(1/2)•AC•FE
=(1/2)•AC•(PF+FE)
=(1/2)•AC•PE
=(1/2)•AC•BC
=(1/2) X (2√3) X 2
=2√3
在平行四边形BCEP中,AB∥EC,PB=EC。
若四边形PCEA为平行四边形,须: AP=EC
即,PB=AP,P为AB的中点,
AP=(1/2)AB=(1/2)X4=2。
结论②:当AP=2时,四边形PCEA是平行四边形。
若四边形PCEA是直角梯形,须:PC⊥AB。
在⊿ABC中,∠BAC=90² - ∠ABC
在⊿CBP中,∠BCP=90² - ∠ABC
∴∠BCP=∠BAC=30°
BP=(1/2)BC (直角三角形中,30度角所对的边等于斜边的1/2)
=(1/2) X 2 = 1
AP=AB-BP
=4-1
=3
结论③:当AP=3时,四边形PCEA是直角梯形。
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
解:
由PD=CD,BD=DE,∠BDP=∠CDE,
△BDP和△EDC全等,
则BP=CF,∠DBP=∠DEC,
∴BP平行于CE,
则梯形PCEA的高为BCcos30°=√3,
①S=(CE+PA)×1/2
=(BP+PA)×√3/2
=4√3/2=2√3
②四边形PCEA是平行四边形时CE=AP,
则AP=BP,
即AP=1/2AB=2
③四边形PCEA是直角梯形时,
CP就是高,
即为根号三,
又∵∠BAC=30°,
∴AP=3
由PD=CD,BD=DE,∠BDP=∠CDE,
△BDP和△EDC全等,
则BP=CF,∠DBP=∠DEC,
∴BP平行于CE,
则梯形PCEA的高为BCcos30°=√3,
①S=(CE+PA)×1/2
=(BP+PA)×√3/2
=4√3/2=2√3
②四边形PCEA是平行四边形时CE=AP,
则AP=BP,
即AP=1/2AB=2
③四边形PCEA是直角梯形时,
CP就是高,
即为根号三,
又∵∠BAC=30°,
∴AP=3
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
展开全部
解:作CH⊥AB,垂足为H,则CH= 3 .
连接EP,因为CD=DP,BD=DE,得▱PBCE.则CE=PB,EP=CB=2.
(1)S APCE =(CE+AP)CH÷2=AB•CH÷2=2 3 ,
四边形PCEA的面积=1 2 (CE+AP)•CH=1 2 AB•CH=2 3 ;
(2)当AP=2时,得▱PCEA,∵AP=2=PC=EC,且EC∥AP;
(3)当AP=3时,P、H重合,EC∥AP,∠CPA=90°,
AP=3≠1=PB=EC,得直角梯形PCEA;
当AP=1时,△APE是直角三角形,∠EAP=90°,
EC∥AP,AP=1≠3=PB=EC,得直角梯形PCEA.
连接EP,因为CD=DP,BD=DE,得▱PBCE.则CE=PB,EP=CB=2.
(1)S APCE =(CE+AP)CH÷2=AB•CH÷2=2 3 ,
四边形PCEA的面积=1 2 (CE+AP)•CH=1 2 AB•CH=2 3 ;
(2)当AP=2时,得▱PCEA,∵AP=2=PC=EC,且EC∥AP;
(3)当AP=3时,P、H重合,EC∥AP,∠CPA=90°,
AP=3≠1=PB=EC,得直角梯形PCEA;
当AP=1时,△APE是直角三角形,∠EAP=90°,
EC∥AP,AP=1≠3=PB=EC,得直角梯形PCEA.
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询