Question

设a,b是实数,二次方程x^2-ax+b=0的一个根属于区间【-1,1】，另一根属于区间【1,2】。求a-2b的取值范围

速度，好的加分

Answer 1

我这样理解的：
设这两个根是x1,x2
所以 x1+x2=a ； x1x2=b
a-2b=x1+x2-2x1x2，又因为x1在【-1，1】里，x2在【1，2】里
所以 x1+x2在【0，3】之间，x1x2在【-2，2】之间，即-2x1x2在【-4，4】之间，
所以 a-2b在【-4，7】之间
又因为 a平方-4b大于或等于0 ， 即（x1+x2）平方大于等于4x1x2，此式恒成立
所以 ，综上所述，a-2b在【-4，7】之间

Answer 2

设二次方程x^2-ax+b=0的根为x1,x2
不妨设-1≤x1≤1 1≤x2≤2
则0≤x1+x2≤3 -1≤x1*x2≤2
有韦达定理知x1+x2=a x1*x2=b
则0≤a≤3 (1)
-1≤b≤2 1≥-b≥-2 -4≤-2b≤2 (2)
(1)+(2) -4≤a-2b≤5
故a-2b的取值范围[-4,5]

Answer 3

根据题意有
f(-1)*f(1)<=0
f(1)*(f2)<=0
0<=a<=3
-2<=b<=2
即(1+a+b)(1-a+b)<=0且(1-a+b)(4-2a+b)<=0且0<=a<=3且-2<=b<=2
1+a+b>=0,1-a+b<=0,4-2a+b>=0
b>=-a-1>=-4,b>=2a-4>=-4
所以0<=a<=3,-2<=b<=2
-4<=-2b<=4
-4<=a-2b<=7